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2 Theorie

2.1 Die elektromagnetische Kraft in der maxwellschen Elektrodynamik

Die Maxwellgleichungen haben sich mehr als ein Jahrhundert lang bei der Beschreibung elektromagnetischer Wellen sehr bewährt. Ihr Aufstieg zur alleinigen Theorie des Elektromagnetismus beginnt mit einem Artikel von James Clerk Maxwell im Jahre 1865 [Maxwell1865]. In diesem Artikel zeigt er, dass sich aus dem kompletten Satz der Maxwellgleichungen unter Einbeziehung des Verschiebungsstroms eine Wellengleichung ableiten lässt, bei der sich elektromagnetische Störungen des Feldes mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Seine Vermutung war, dass es sich bei Licht um ein elektrisches Phänomen handeln würde. Im Jahre 1886 gelang es dann Heinrich Hertz erstmals elektromagnetische Wellen experimentell zu erzeugen und nachzuweisen [Hertz1887]. Da die Weber-Elektrodynamik nicht mit dem Gaußschen Gesetz kompatibel ist, geriet sie von da ab zunehmend in Vergessenheit, allerdings nie völlig ([ORahilly1965], [Assis1994])

Es steht außer Frage, dass die Maxwellgleichungen für die Beschreibung elektromagnetischer Wellen gut geeignet sind. Allerdings sind elektromagnetische Wellen schnelle Phänomene, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen. Die Maxwellgleichungen funktionieren jedoch weit weniger gut, wenn man die elektromagnetischen Kräfte zwischen sehr langsamen, gleichförmig bewegten Punktladungen berechnen möchte. Im Nachfolgenden wird auf diese Problematik näher eingegangen. Eine hervorragende und sehr empfehlenswerte Arbeit zu diesem Thema ist im Übrigen [Anonymous2018], welche dieses Thema noch weit umfassender, aber aus einem anderen Sichtwinkel untersucht.

2.1.1 Die Kraft zwischen zwei langsam gleichförmig bewegten Punktladungen

Wir wollen nun die elektromagnetische Kraft einer sich gleichförmig bewegenden Punktladung auf eine andere gleichförmig bewegte Punktladung berechnen. Eine Näherungsformel für diese Kraft ist das Coulombgesetz. Allerdings vernachlässigt das Coulombgesetz die magnetische Kraft. Um die vollständige Kraft zu erhalten benötigt man der Standardtheorie folgend eine spezielle Lösung der Maxwellgleichungen. Für Punktladungen gelangt man zu den Liénard-Wiechert-Potentialen ([Lehner2004], Seite 618).
Abbildung 2.1.1.1: Quellladung und Zielladung
Für das Potential $\varphi$ gilt hier die Beziehung
$$\varphi = \frac{c\,q_s}{4\,\pi\,\varepsilon_0\sqrt{\left(c^2\,t-\vec{v}_s\,\vec{r}\right)^2 + \left(c^2-v_s^2\right)\left(r^2-c^2\,t^2\right)}},$$ (2.1.1.1)
falls sich die Punktladung $q_s$ zum Zeitpunkt $t=0$ am Koordinatenursprung befindet und sich von dort mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_s$ gleichförmig entfernt. Das Vektorpotential $\vec{A}$ lautet unter diesen Umständen
$$\vec{A} = \frac{\vec{v}_s}{c^2}\,\varphi.$$ (2.1.1.2)
Das elektrische und magnetische Feld erhält man ganz allgemein durch die Gleichungen ([Lehner2004], Seite 451)
$$\vec{E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial\vec{A}}{\partial t}$$ (2.1.1.3)
und
$$\vec{B} = \nabla\times\vec{A}.$$ (2.1.1.4)
Für den speziellen Fall der gleichförmig bewegten Punktladung folgt aus den Formeln (2.1.1.1) und (2.1.1.2) demzufolge das elektrische Feld
$$\vec{E} = \frac{c\,q_s\,\left(c^2-v_s^2\right)\left(\vec{r}-\vec{v}_s\,t\right)}{4\,\pi\,\varepsilon_0\sqrt{ \left(r^2 - c^2\,t^2\right)\,\left(c^2 - v_s^2\right) + \left(c^2\,t - \vec{r}\,\vec{v}_s\right)^2 }^{3}}.$$ (2.1.1.5)
und die magnetische Flussdichte
$$\vec{B} = \frac{\vec{v}_s}{c^2}\times\vec{E}.$$ (2.1.1.6)
Das Ziel der weiteren Berechnung besteht darin, die Kraft der elektrischen Punktladung auf eine andere elektrische Punktladung aus den Feldern zu einem bestimmten Zeitpunkt zu berechnen. Wir setzen dazu ohne Einschränkung der Allgemeinheit in Gleichung (2.1.1.5) den Zeitpunkt der Betrachtung zu $t=0$ und erhalten
$$\vec{E} = \frac{c\,q_s\,\left(c^2-v_s^2\right)\,\vec{r}}{4\,\pi\,\varepsilon_0\sqrt{r^2\,\left(c^2 - v_s^2\right) + \left(\vec{r}\,\vec{v}_s\right)^2}^{3}}$$ (2.1.1.7)
Die Formel (2.1.1.6) bleibt davon unbeeinflusst.

Tatsächlich messbar sind aber nicht die Felder $\vec{E}$ und $\vec{B}$, sondern nur deren Kraftwirkungen auf Probeladungen. Um die Kraft $\vec{F}$ der Ladung $q_s$ auf eine andere Punktladung $q_d$ zu berechnen, benötigt man zusätzlich noch deren Geschwindigkeit $\vec{v}_d$ und die Formel der Lorentzkraft $\vec{F} = q_d\,\vec{E} + q_d\,\vec{v}_d\times\vec{B}$. Die Maxwellgleichungen liefern damit letztendlich die Formel
$$\vec{F}_{M}(\vec{r},\vec{v}_s,\vec{v}_d) = \zeta_M(\vec{v}_s,\vec{r})\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r^3}\,\left(\vec{r} + \frac{1}{c^2}\,\vec{r}\times\vec{v}_s\times\vec{v}_d\right)$$ (2.1.1.8)
für die Kraft einer gleichförmig bewegten idealen Punktladung $q_s$ auf eine andere gleichförmig bewegte ideale Punktladung $q_d$. Dabei ist der einheitenlose, skalare Vorfaktor $\zeta_M$ definiert durch
$$\zeta_M(\vec{v}_s,\vec{r}) := \frac{c\,\left(c^2-v_s^2\right)}{\sqrt{\left(c^2 - v_s^2\right) + \left(\frac{\vec{r}}{r}\,\vec{v}_s\right)^2}^{3}} \approx 1 + \frac{v_s^2}{2\,c^2} - \frac{3}{2} \left(\frac{\vec{r}}{r}\cdot\frac{\vec{v}_s}{c}\right)^2.$$ (2.1.1.9)
Wir wollen nun die Formel (2.1.1.8) etwas näher untersuchen und analysieren, welchen Einfluss die Geschwindigkeiten $\vec{v}_s$ und $\vec{v}_d$ haben und wie die Kraft von der Richtung der Geschwindigkeiten abhängt.

Die Quellladung ruht, die Zielladung bewegt sich

Als erstes setzen wir $\vec{v}_s=0$, d.h. wir betrachten einen Fall, bei dem die Quellladung $q_s$ ruht und sich die Zielladung mit einer beliebigen Geschwindigkeit $\vec{v}_d$ bewegt. Gleichung (2.1.1.8) vereinfacht sich damit zu
$$\vec{F}_{M}(\vec{r},\vec{0},\vec{v}_d) = \zeta_M(\vec{0},\vec{r})\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r^3}\,\vec{r} = \frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{\vec{r}}{r^3}$$ (2.1.1.1.1)
was unschwer als das Coulombgesetz zu erkennen ist. Falls die Quellladung $q_s$ das gleiche Vorzeichen besitzt, wie die Zielladung $q_d$, so wirkt die resultierende Kraft genau in Richtung des Abstandvektors $\vec{r}$ andernfalls in die Gegenrichtung (Siehe Skizze 2.1.1.1).

Bemerkenswert ist, dass die Maxwellkraft $\vec{F}_M$ für eine ruhende Quellladung überhaupt nicht von der Geschwindigkeit $\vec{v}_d$ der Zielladung abhängt! Hier tritt die Lorentzinvarianz der elektrischen Ladung in der Maxwellschen Elektrodynamik besonders deutlich zu Tage.

Die Quellladung bewegt sich, die Zielladung ruht

Abbildung 2.1.1.2.1: Die Pfeile zeigen die Richtung und die ungefähre Stärke der Kraft die eine sehr schnell bewegte Ladung am Koordinatenursprung auf eine an der jeweiligen Stelle ruhenden Probeladung ausüben würde.
Für den Fall, dass sich die Quellladung $q_s$ bewegt, aber die Zielladung $q_d$ ruht, folgt
$$\vec{F}_{M}(\vec{r},\vec{v}_s,\vec{0}) = \zeta_M(\vec{v}_s,\vec{r})\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r^3}\,\vec{r},$$ (2.1.1.2.1)
was diesmal nicht der Coulombkraft entspricht, da $\zeta_M(\vec{v}_s,\vec{r})$ im Allgemeinen nicht Eins ergibt. Aber auch hier gilt wieder, dass die Kraft $\vec{F}_M$ immer parallel zum Abstandsvektor $\vec{r}$ ausgerichtet ist, da der dimensionslose, skalare Vorfaktor $\zeta_M$ nicht die Richtung sondern nur die Stärke der Kraft beeinflussen kann.

Analysiert man den Vorfaktor $\zeta_M(\vec{v}_s,\vec{r})$ so stellt man fest, dass der Zahlenwert vom Winkel zwischen Abstandsvektor $\vec{r}$ und Geschwindigkeit $\vec{v}_s$ abhängt. Für $\vec{v}_s\,\bot\,\vec{r}$ ist
$$\zeta_{M}^{\bot} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_s^2}{c^2}}} = \gamma(v_s) \quad (>1),$$ (2.1.1.2.2)
wobei $\gamma$ der Lorentzfaktor ist. Für $\vec{v}_s\,\parallel\,\vec{r}$ gilt hingegen
$$\zeta_{M}^{\parallel} = 1 - \frac{v_s^2}{c^2} = \gamma(v_s)^{-2} \quad (<1).$$ (2.1.1.2.3)
Man kennt eine derartige Feldverformung im Übrigen auch von der Masse. Der Effekt wurde dort früher Longitudinal- und Transversalmasse genannt.

Damit ist nun klar, dass es in der maxwellschen Elektrodynamik einen Unterschied darstellt, ob sich die Quelle oder der Empfänger der Kraft bewegt. Solange die Quelle ruht, nimmt eine bewegte Punktladung immer nur die normale Coulombkraft wahr. Im umgekehrten Fall ist es jedoch komplizierter, denn die Stärke der Kraft die eine bewegte Punktladung auf eine ruhende Probeladung ausübt, hängt ganz davon ab, ob sich die Punktladung seitlich an einer Probeladung vorbeibewegt oder ob sie sich auf direkter Linie nähert oder entfernt. Eine seitlich vorbeifliegende Ladung erzeugt eine Kraft, die gegenüber der Coulombkraft verstärkt ist. Eine Ladung die sich hingegen nähert oder entfernt ist in ihrer Wirkung abgeschwächt.

Schon wegen des Auftretens der Lorentzfaktoren ist klar, dass es sich hierbei um einen relativistischen Effekt handelt. Irritierend ist jedoch die Unsymmetrie. Es gilt also nicht die Regel Kraft gleich Gegenkraft. Damit ist die Impulserhaltung verletzt und es sollten sich Schaltkreise konstruieren lassen, die sich ohne Einwirkung äußerer Kräfte selbst beschleunigen oder abbremsen können (reactionless drives). Die Situation wird noch unübersichtlicher, wenn alle Geschwindigkeiten ungleich Null sind, da in diesem Fall zusätzlich zum $\zeta_M$-Faktor noch der Kreuzproduktterm in Gleichung (2.1.1.8) zur Wirkung kommt. Es sei dem Leser überlassen, sich zu überlegen in welche speziellen Richtungen die Kraft abgelenkt wird. Es wird an dieser Stelle lediglich darauf hingewiesen, dass die Kraft im Allgemeinen nicht mehr auf die Quelle zeigt und dass die elektromagnetische Kraft in der maxwellschen Elektrodynamik keine Zentralkraft darstellt. Daraus folgt dann auch, dass die Drehimpulserhaltung verletzt ist.

2.1.2 Die Kraft eines Stromelementes auf eine langsam bewegte elektrische Punktladung

Wir wollen nun mit Hilfe der Formel (2.1.1.8) die Kraft berechnen, die elektrische Ströme auf einzelne bewegte Punktladungen ausüben. Im Gegensatz zu den Kräften, die einzelne Punktladungen auf andere Punktladungen bewirken, sind Kräfte von Gleichströmen messtechnisch gut erfassbar. Wie sich herausstellen wird, steht die merkwürdige Formel (2.1.1.8) - sofern es um Ströme geht - in Einklang mit dem Experiment.

Für die Berechnung benötigen wir zunächst einen Zwischenschritt. Dieser besteht darin, sich eine positive elektrische Ladung $q_s$ vorzustellen, die sich mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_s/2$ bewegt, während sich eine zweite gleichgroße negative Ladung $-q_s$ am gleichen Ort mit der Geschwindigkeit $-\vec{v}_s/2$ bewegt. Wir wollen diese Struktur im Weiteren als Stromelement bezeichnen.

Abbildung 2.1.2.1: Elektrischer Strom ist die Anzahl an Ladungsträgern, die pro Zeiteinheit die graue Fläche durchdringen.
Es ist klar, dass sich die beiden entgegengerichtet bewegenden Ladungen schon noch kurzer Zeit nicht mehr am gleichen Ort befinden. Stellt man sich jedoch viele Stromelemente in einer Linie angeordnet vor, so wird klar, dass es zu jedem Zeitpunkt immer zwei entgegengesetzt gleich große Ladungen an einem Ort gibt, da die Nachbarn immer wieder die abgeflossenen Ladungsträger ersetzen. Eine solche Linie stellt einen Gleichstrom dar, denn der elektrische Strom ist definiert als die Anzahl an Ladungsträgern die pro Zeiteinheit durch eine Fläche quer zur Bewegungsrichtung dringen.

Abbildung 2.1.2.1 verdeutlicht diesen Zusammenhang in Form einer Skizze. Die positiven Ladungsträger dringen hier von links kommend durch die graue Fläche, während die negativen von rechts kommen. Der resultierende Strom ist im Übrigen exakt gleich groß zu dem Strom den man hätte, wenn sich die positiven Ladungsträger gar nicht bewegen würden und sich die negativen Ladungsträger mit der doppelten Geschwindigkeit nach links bewegten. Dieser Umstand wird später noch eine wichtige Rolle spielen.

Wir wollen nun die Kraft $\vec{F}_{MC}$ berechnen, die ein einzelnes Stromelement am Koordinatenursprung auf eine bewegte Probeladung $q_d$ am Ort $\vec{r}$ mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_d$ ausübt. Wegen Formel (2.1.1.8) ist
$$\begin{split} \vec{F}_{MC} = & \zeta_M\left(-\frac{\vec{v}_s}{2},\vec{r}\right)\,\frac{(-q_s)\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r^3}\,\left(\vec{r} - \frac{1}{2\,c^2}\,\vec{r}\times\vec{v}_s\times\vec{v}_d\right) + \\ & \zeta_M\left(+\frac{\vec{v}_s}{2},\vec{r}\right)\,\frac{(+q_s)\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r^3}\,\left(\vec{r} + \frac{1}{2\,c^2}\,\vec{r}\times\vec{v}_s\times\vec{v}_d\right) \end{split}$$ (2.1.2.1)
Da $\zeta_M\left(-\vec{v}_s/2,\vec{r}\right)$ wegen Definition (2.1.1.9) gleich $\zeta_M\left(\vec{v}_s/2,\vec{r}\right)$ ist, lässt sich Formel (2.1.2.1) weiter zu
$$\vec{F}_{MC} = \zeta_M\left(\frac{\vec{v}_s}{2},\vec{r}\right)\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r^3}\,\frac{1}{c^2}\,\vec{r}\times\vec{v}_s\times\vec{v}_d$$ (2.1.2.2)
vereinfachen.

Wir formen den Ausdruck (2.1.2.2) noch weiter um und schreiben
$$\vec{F}_{MC} = \left[v_s\,\zeta_M\left(\frac{\vec{v}_s}{2},\vec{r}\right)\right]\cdot\left[\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r^3}\,\frac{1}{c^2}\,\vec{r}\times\frac{\vec{v}_s}{v_s}\times\vec{v}_d\right].$$ (2.1.2.3)
Der zweite Term des Produktes in Formel (2.1.2.3) hängt nun nicht mehr vom Betrag $v_s$ der Geschwindigkeit $\vec{v}_s$ ab. Für den ersten Term kann man eine Taylorreihenentwicklung bezüglich $v_s$ durchführen. Dabei erkennt man, dass
$$v_s\,\zeta_M\left(\frac{\vec{v}_s}{2},\vec{r}\right) = v_s + \mathcal{O}(v_s^2)$$ (2.1.2.4)
gilt. Damit erhalten wir dann die Näherung zweiter Ordnung
$$\vec{F}_{MC} \approx \frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,c^2\,r^3}\,\vec{r}\times\vec{v}_s\times\vec{v}_d,$$ (2.1.2.5)
die vollkommen ausreichend ist, da sich bei elektrischen Strömen die Ladungsträger nicht nur sehr viel langsamer als mit Lichtgeschwindigkeit, sondern sogar langsam im Vergleich zu üblichen Alltagsgeschwindigkeiten bewegen. Man kann nun noch die elektrische Feldkonstante $\varepsilon_0$ durch $1/(\mu_0\,c^2)$ ersetzen und etwas umformen. Schließlich gelangt man zu
$$\vec{F}_{MC} = q_d\,\vec{v}_d\times\,\vec{B}$$ (2.1.2.6)
mit
$$\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\,\pi}\,(q_s\,\vec{v}_s)\times\frac{\vec{r}}{r^3}.$$ (2.1.2.7)
Wie sofort zu erkennen ist, handelt es sich bei Gleichung (2.1.2.6) um das Lorentzkraftgesetz und bei (2.1.2.7) um das Biot-Savart-Gesetz.

Was heißt das? Nun, zum Einen bedeutet das, dass die Formel (2.1.1.8) für beliebige Stromschleifen zu den richtigen experimentellen Vorhersagen führt. Das war aber auch nicht anders zu erwarten, denn Gleichung (2.1.1.8) wurde ja letztlich aus den Maxwellgleichungen abgeleitet. An dieser Stelle viel wichtiger ist es jedoch festzustellen, dass sich bereits zwei einzelne elektrische Punktladungen wie ein kleines Stück Draht verhalten, dass man aus einer Leiterschleife herausgeschnitten hat. Aus diesem Grund ist es in der maxwellschen Elektrodynamik letztlich immer möglich, über beliebige Leiterschleifen zu integrieren. Der Kreuzproduktterm stellt automatisch sicher, dass das Ergebnis auch nach der Integration passt. Die Integration selbst aber hat für die Erklärung der magnetischen Kraft keine Bedeutung, denn sie überlagert lediglich die einzelnen Teilmagnetfelder zu einem Gesamtmagnetfeld. Abbildung 2.1.2.2 zeigt die unlogisch erscheinende Kraft eines Stromelementes auf zwei unterschiedlich bewegte Probeladungen.

Abbildung 2.1.2.2: Die Pfeile zeigen die Richtung und die ungefähre Stärke der Kraft die eine Probeladung durch ein Stromelement am Koordinatenursprung erfahren würde, wenn sie sich an der jeweiligen Stelle befände. Auf der linken Seite bewegt sich die Probeladung nach oben, auf der rechten Seite nach rechts. Es ist deutlich zu erkennen, dass das Stromelement auch dort eine Lorentzkraft erzeugt, wo es garnicht ist.
Was weiterhin auffällt ist, dass der interessante, relativistisch wirkende Term (2.1.1.9) nichts zur Erklärung der magnetischen Kraft beiträgt, da er in Ausdruck (2.1.2.4) schon durch die Näherung zweiter Ordnung herausgefallen ist. Wie später klar werden wird, ist der Kreuzproduktterm eine Art "bug fix" um die magnetische Kraft bei Strömen doch noch richtig zu beschreiben. In späteren Abschnitten wird gezeigt werden, wie sich die magnetische Kraft viel besser durch eine einfache symmetrische Zentralkraft, nämlich die Weberkraft, erklären lässt. Doch bevor wir dazu kommen, soll ein wichtiges Paradoxon der Maxwellschen Magnetostatik erläutert werden, welches Hendrik Antoon Lorentz zur Entwicklung der Lorentztransformation zwang.

2.1.3 Das Lorentzkraftparadoxon

Im Zusammenhang mit Abbildung 2.1.2.1 wurde bereits erwähnt, dass der elektrische Strom nicht von der Geschwindigkeit der Stromelemente an sich, sondern nur von der Differenzgeschwindigkeit der positiven und negativen Ladung in einem Stromelement abhängt. Abbildung 2.1.3.1 verdeutlicht diesen Umstand noch deutlicher.

Abbildung 2.1.3.1: Das Magnetfeld eines Stroms wirkt nicht auf ruhende Probeladungen.
Abbildung 2.1.3.2: Die gleiche Situation wie zuvor aus einem Bezugssystem betrachtet, welches sich mit den Elektronen mitbewegt.
In einem ruhenden stromdurchflossenen Metalldraht ruhen die Atomrümpfe, während sich die Elektronen mit einer Driftgeschwindigkeit $v_s$ bewegen. Dies entspricht genau dem Fall, der in Abbildung 2.1.3.1 gezeigt ist. Die Anzahl der negativen Ladungsträger die pro Zeiteinheit die graue Fläche durchdringen entspricht dem Strom im Draht.

Abbildung 2.1.3.2 zeigt den Draht und die Probeladung aus Sicht eines Beobachters, der sich mit der Geschwindigkeit $v_s$ nach links bewegt. Es ist nun wichtig zu verstehen, dass sich die bewegte Ladungsmenge pro Zeiteinheit nicht verändert. Das bedeutet, dass sich formal der gleiche Strom ergibt. Zwar besteht dieser Strom nun aus positiven Ladungsträgern, dafür bewegen sich diese jedoch in die Gegenrichtung.

Dem Biot-Savart-Gesetz zufolge erzeugt ein unendlich langer stromdurchflossener Draht ein Magnetfeld, dessen Stärke direkt proportional zum Strom ist. Das bedeutet, dass in beiden Fällen das gleiche magnetische Feld entstehen müsste. Da Magnetfelder keinen Einfluss auf ruhende Ladungen haben, wirkt im ersten Fall keine Kraft auf die sich unterhalb des Drahtes befindliche Probeladung. Im zweiten Fall gilt das nicht, da sich die Probeladung bewegt. Dies scheint ein Widerspruch zu sein, denn ob ein Objekt beschleunigt wird oder nicht, kann nicht davon abhängen, aus welchem Inertialsystem heraus ein unbeteiligter Beobachter den Vorgang betrachtet.

Die maxwellsche Elektrodynamik löst diesen Widerspruch, indem sie statt der Galileitransformation die Lorentztransformation, d.h. die Gleichungen (4.1.1.1) und (4.1.1.2), zu Grunde legt. In der speziellen Relativitätstheorie nimmt eine parallel zum Draht bewegte Ladung eine andere Stromstärke wahr, als eine ruhende. Gleichzeitig ist für die bewegte Ladung der Draht nicht länger elektrisch neutral. Die Änderung der magnetischen Kraft wird durch die hinzugekommene elektrische Kraft genau kompensiert. Auf diese Transformation von Strom in Ladung wird beispielsweise in [Lehner2004] auf Seite 656 oder in [Orear1979] auf Seite 359 eingegangen.

Abbildung 2.1.3.3: Konfiguration: Unendlich langer, stromdurchflossener Draht und eine nicht parallel dazu bewegte Probeladung.
Die Lorentztransformation kann allerdings nicht die Kraft erklären, die eine Probeladung $q$ erfährt, die sich nicht parallel zum Draht bewegt. Das soll im Nachfolgenden mathematisch anhand des Modells des unendlich langen, geraden, stromdurchflossenen Leiters nachgewiesen werden. Die Abbildung 2.1.3.3 zeigt die Konfiguration im Laborsystem, d.h. der stromdurchflossene Draht ruht und die punktförmige Probeladung $q$ bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit $\vec{v} = (e_x,e_y,e_z)\,v$. Für die Zahlen $e_x$, $e_y$ und $e_z$ soll gelten $e_x^2+e_y^2+e_z^2=1$.

Im Laborsystem befinden sich die positiven Ladungen im Draht zum Zeitpunkt $t$ jeweils am Ort $\vec{r}_+(t) = (x + v_s\,t,0,d)$. Wir wollen diese Bewegungsgleichung in das Ruhesystem der Probeladung transformieren. Wir verwenden dazu die erste Gleichung der Lorentztransformation (4.1.1.1) und erhalten
$$\vec{r}\acute{_+} = \vec{r}_+(t) + \left(\gamma(v) - 1\right)\,\vec{r}_+(t)\cdot\vec{v}\,\frac{\vec{v}}{v^2} - \gamma(v)\,\vec{v}\,t$$ (2.1.3.1)
Diese Gleichung hängt aber noch von $t$ und nicht $t\acute{~}$ ab. Wir benötigen daher noch die zweite Gleichung (4.1.1.2) der Lorentztransformation. Des weiteren setzen wir $t\acute{~} = 0$, da wir uns für die Situation interessieren, die zu dem Zeitpunkt vorliegt, an dem sich die Probeladung genau am Koordinatenursprung befindet. Es folgt
$$t\acute{~} = \gamma(v)\,\left(t - \frac{1}{c^2}\,\vec{r}_+(t)\cdot\vec{v}\right) = 0,$$ (2.1.3.2)
d.h.
$$t = \frac{v\,(d\, e_z + x\,e_x)}{c^2 - v\,v_s\,e_x}$$ (2.1.3.3)
Durch Einsetzen der Gleichung (2.1.3.3) in die Formel (2.1.3.1) und anschließender Taylorreihenapproximation erster Ordnung bezüglich $v_s$ und $v$ gelangt man zu
$$\vec{r}\acute{_+} \approx \left(\begin{matrix} x + \frac{v\,v_s}{c^2}\,\left(d\,e_z + x\,e_x\right) \\ 0 \\ d \end{matrix}\right)$$ (2.1.3.4)
Die Orte der negativen Ladungen im Draht erhält man entsprechend durch Ersetzung von $v_s$ mit $-v_s$, d.h.
$$\vec{r}\acute{_-} \approx \left(\begin{matrix} x - \frac{v\,v_s}{c^2}\,\left(d\,e_z + x\,e_x\right) \\ 0 \\ d \end{matrix}\right)$$ (2.1.3.5)


Wir nehmen nun einmal an, dass die Ladungen im Draht eine Kraft entsprechend dem Coulombgesetz auf die Probeladung in ihrem Ruhesystem ausüben würden. Die Gesamtkraft des Drahts würde sich dann durch das Integral
$$\vec{F} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{q\,\lambda}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{(-\vec{r}\acute{~_+})}{\Vert\vec{r}\acute{~_+}\Vert^3} + \frac{q\,(-\lambda)}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{(-\vec{r}\acute{~_-})}{\Vert\vec{r}\acute{~_-}\Vert^3}\,\d{x}$$ (2.1.3.6)
berechnen lassen. Dabei steht $\lambda$ für die Ladungsdichte der positiven Ladungsträger des Drahtes im Laborsystem. Die Ladungsdichte der negativen Ladungen im Draht beträgt dementsprechend $-\lambda$, da der Draht im Laborsystem elektrisch neutral ist und die Lorentzkontraktion (Siehe Abschnitt 4.1.2) in den transformierten Koordinaten (2.1.3.4) und (2.1.3.5) bereits enthalten ist.

Für kleine $v_s$ lautet die Lösung des Integrals
$$\vec{F} \approx \frac{q\, v\, v_s\, \lambda}{c^2\,\pi\,d\, \varepsilon_0} \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ e_x \end{matrix}\right).$$ (2.1.3.7)
Zum Abschluss nutzen wir noch aus, dass für den Strom im Draht die Beziehung $I = \lambda\,v_s + (-\lambda)(-v_s) = 2\,\lambda\,v_s$ gilt und ersetzen $\varepsilon_0$ mit $1/(c^2\,\mu_0)$. Damit folgt dann
$$\vec{F} = \frac{q\,\mu_0\,I}{2\,\pi\,d} \left(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ e_x \end{matrix}\right)\,v.$$ (2.1.3.8)
Dies entspricht nicht der magnetischen Kraft, die der Draht in einem Experiment auf die Probeladung ausüben würde! Die korrekte Formel lautet stattdessen
$$\vec{F} = \frac{q\,\mu_0\,I}{2\,\pi\,d} \left(\begin{matrix} -e_z \\ 0 \\ e_x \end{matrix}\right)\,v.$$ (2.1.3.9)
Man erkennt aber, dass zumindest für $e_z = 0$ eine Übereinstimmung vorliegt. Die hier durchgeführte Berechnung entspricht also vom Ergebnis her dem was auch in [Lehner2004] oder in [Orear1979] gezeigt wird.

Das bedeutet, dass die Lorentztransformation die magnetische Kraft nicht vollständig erklären kann. Stattdessen benötigt man für die korrekte Vorhersage der experimentellen Ergebnisse den vierdimensionalen Feldstärketensor. Des weiteren muss man sich damit abfinden, dass die magnetische Kraft für nichtparallele Bewegungen einfach so da ist und man ihre Existenz nicht durch die Relativität erklären kann. Wie noch gezeigt werden wird, lässt sich im Gegensatz dazu in der Weber-Elektrodynamik und der Quantinotheorie das magnetische Feld komplett auf die Differenzgeschwindigkeiten zwischen allen Punktladungen zurückführen. Das stellt eine erhebliche Vereinfachung und einen deutlichen Erkenntnisgewinn dar. Des weiteren legt allein schon das die Vermutung nahe, dass die Quantinotheorie die Realität besser beschreibt, als das System aus Lorentztransformation und Maxwellgleichungen.

2.1.4 Impulserhaltungsverletzende Schaltkreise in der Maxwell-Elektrodynamik

Bevor die Weber-Elektrodynamik behandelt wird, wird noch kurz auf ein weiteres logisches Problem der Maxwell-Elektrodynamik eingegangen. Dieses besteht darin, dass durch die Maxwellgleichungen die Existenz von Apparaten vorhergesagt wird, die sich ohne äußere Einwirkung von außen in Bewegung setzen und immer schneller werden können. Im englischen Sprachraum werden solche Maschinen als "reactionless drives" (EM-Drive) bezeichnet. Abbildung 2.1.4.1 zeigt ein Beispiel für eine elektronische Schaltung, die, wenn sie von dem Wechselstrom durchflossen wird, immer schneller werden sollte. Würde man diese Grundschaltung in integrierten Schaltkreisen millionenfach vervielfacht integrieren, so erhielte man einen Chip, mit dem sich ohne mechanische Elemente eine Objekt im Vakuum gezielt beschleunigen ließe.
Abbildung 2.1.4.1: Beispiel für eine EM-Drive-Schaltung: Der Strom $i_1$ erzeugt eine nach oben gerichtete Kraft auf den Strom $i_2$. Umgekehrt gilt das gleiche. Nach dem Umpolen des Stroms, zeigt die Kraft immer noch nach oben. Die Schaltung würde also nach und nach immer schneller werden.

Das Grundprinzip der Schaltung besteht aus einem sehr kleinen Kondensator, durch den ein Wechselstrom $i_1$ fließt. Die Zuleitung, als auch der Raum zwischen den Kondensatorplatten ist von einem Magnetfeld umgeben. Das Magnetfeld zwischen den Platten ist dabei eine Folge des Maxwellschen Verschiebungsstroms. Dieses Magnetfeld bewirkt eine Kraft auf den Draht der zwischen den Platten hindurchgeführt ist. Wie man an der Abbildung 2.1.4.1 auf der linken Seite erkennt, führt dieses Magnetfeld zu einer nach oben gerichteten Kraft auf den Strom $i_2$. Der Strom $i_2$ erzeugt aber ebenfalls ein Magnetfeld, das in Abbildung 2.1.4.1 rechts dargestellt ist. Auch dieses Magnetfeld führt zu einer nach oben gerichteten Kraft, jedoch auf den Strom $i_1$. Wenn sich der Strom umpolt, polen sich auch die Magnetfelder um und es entsteht wiederum an $i_1$ und $i_2$ jeweils eine nach oben gerichtete Kraft. Der Schub ist also unabhängig von der Stromrichtung.

Dass etwas Derartiges tatsächlich möglich ist, erscheint aber wenig plausibel, obwohl argumentiert werden kann, dass die Schaltung asymmetrisch elektromagnetische Wellen abgestrahlt. Da elektromagnetische Wellen Impuls besitzen, könnte in Summe die Impulsbilanz der Schaltung und der Welle zusammen wieder ausgeglichen sein. Sehr wahrscheinlich sind solche Apparate genau wie Perpetuum Mobiles unmöglich, da die Maxwellsche Magnetostatik Vorhersagen macht, die sich klar experimentell widerlegen lassen.