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2.6.5 Selbstinterferenz

Im Abschnitt 2.6.4 wurde erläutert, dass feste, punktförmige Partikel hinter einer Blende mit mindestens zwei oder mehr Öffnungen interferieren können, wenn die Blende mit einer ebenen elektrischen Welle angestrahlt wird. In diesem Abschnitt wird gezeigt, dass eine solche ebene Welle für Interferenzeffekte nicht zwingend erforderlich ist, sondern dass auch dann Interferenz auftritt, wenn die interferierenden Partikel selbst Kugelwellen abstrahlen, die von der Umgebung reflektiert werden. Auch für diesen Mechanismus werden keine quantenmechanischen Methoden oder Ideen benötigt.

Ausgangspunkt der nachfolgenden Überlegungen ist die Vorstellung, dass Elementarteilchen wie Protonen, Neutronen, Elektronen und sogar Photonen aus elektrischen Ladungen zusammengesetzt sind. Diese Vorstellung mag sehr ungewohnt wirken, folgt aber aus den Überlegungen des Abschnitts 2.5. Eine Grundthese der Quantinotheorie ist also die, dass Elementarteilchen kleine beinahe punktförmige Plasmatröpfchen sind.

Abbildung 2.6.5.1: Die Interpretation geladener Elementarteilchen als gebundene Partikel (Plasmatröpfchen) erlaubt es zu verstehen, was in der Quantenmechanik schwingt, nämlich die im Inneren verborgenen elektrischen Ladungen. Beim Beschleunigen in einem Teilchenbeschleuniger wird das Plasma in den Elementarteilchen in Schwingung versetzt. Die Frequenz dieser Schwingung korreliert mit der Beschleunigungsspannung.

Ein solches Plasmatröpfchen ist schwingungsfähig und somit in der Lage, elektrische Wellen abzustrahlen. Die Simulation 2.6.5.1 zeigt eine sogenannte Elektronenkanone, wie sie z.B. in einem Elektronenmikroskop verwendet wird. Sie zeigt auch, wie die verborgenen Ladungen im Elektron zu schwingen beginnen. Die Frequenz $f$ dieser Schwingung korreliert, wie sofort ersichtlich ist, mit der Beschleunigungsspannung $U$ in der Elektronenkanone, genauer gesagt gilt $f \sim \sqrt{U}$. Gleichzeitig folgt aber aus der Newtonschen Mechanik, dass für den Impuls $p$ des so beschleunigten Elektrons ein Zusammenhang der Form $p \sim \sqrt{U}$ besteht. Daraus folgt dann $f \sim p$.

Ein mit der Frequenz $f$ schwingendes Plasmatröpfchen erzeugt eine elektrische Kugelwelle, die sich nach allen Seiten mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. Die Animation 2.6.5.2 verdeutlicht die Form dieser Kugelwelle. Die Pfeile zeigen dabei jeweils in die Richtung der elektrischen Kraft, die ein positiv geladenes Teilchen am jeweiligen Ort erfahren würde. Die Länge der Pfeile ist hingegen proportional zur Stärke der Kraft.

Abbildung 2.6.5.2: Die Wellenlänge der sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegenden elektrischen Welle ist die de-Broglie-Wellenlänge. Der Weg den der Dipol selbst innerhalb einer Schwingung zurücklegt ist die Compton-Wellenlänge. Die Compton-Wellenlänge ist eine Konstante, da schnellere Teilchen schneller schwingen und sich beide Effekte kompensieren.

Für die Wellenlänge der Kugelwelle gilt $\lambda = c/f$. Das bedeutet aber, dass die Wellenlänge umgekehrt proportional zum Impuls des Teilchens sein muss, d.h. dass gilt $\lambda \sim 1/p$. Das entspricht der de-Broglie-Beziehung. Im Folgenden soll nun die Wechselwirkung der Kugelwelle mit der Umgebung des Teilchens untersucht werden. Das Fazit wird sein, dass der hier skizzierte Mechanismus großes Potential besitzt, die Quantenmechanik in eine anschaulich nachvollziehbare Physik zu transformieren.

Die Feldstärke $\vec{E}_p$ eines am Ort $\vec{r}_p$ ruhenden Dipols, der in $\vec{d}$-Richtung schwingt, lässt sich am Ort $\vec{r}$ zum Zeitpunkt $t$ grob durch die Formel

$$\vec{E}_p(\vec{r},t) = \vec{E}_d(\vec{r}-\vec{r}_p,\vec{d})\,E_a(\vec{r}-\vec{r}_p,0,t)$$ (2.6.5.1)
modellieren (Siehe Abschnitt 2.8.7). Dabei sei
$$\vec{E}_d(\vec{r},\vec{d}) := \frac{3\,\omega}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,c}\,\frac{1}{r^2}\,\left(2\,\vec{d}\cdot\vec{r}\,\frac{\vec{r}}{r^2}-\vec{d}\right)$$ (2.6.5.2)
die zeitunabhängige aber ortsabhängige Amplitude. Die eigentliche Schwingung ist hingegen in der Funktion $E_a$ enthalten. Für sie gilt
$$E_a(\vec{r},\vec{s},t) := \cos\left(\omega\left(t-\frac{r + s}{c}\right)\right).$$ (2.6.5.3)
Dabei ist $\omega$ die Kreisfrequenz und $\vec{s}$ ein Parameter zur Festlegung des Phasenwinkels, der für die Primärwelle ohne Einschränkung der Allgemeinheit Null gesetzt werden kann. Es wird angemerkt, dass wie immer Buchstaben ohne Vektorpfeil Beträge darstellen, falls der gleiche Buchstabe an anderer Stelle mit Vektorpfeil auftritt. Die Summe $r+s$ ist also gleich $\Vert\vec{r}\Vert+\Vert\vec{s}\Vert$ und nicht etwa $\Vert\vec{r}+\vec{s}\Vert$.

Wir stellen uns nun vor, dass sich ein solches schwingendes Teilchen vor einer glatten Wand aus Atomen befindet. Die Atome in der Wand verhindern die freie Ausbreitung der Welle des Teilchens, da die Ladungen in den Atomen ebenfalls zum Schwingen angeregt werden und so die Welle schwächen und reflektieren. Die von jedem einzelnen Atom ausgesendete sekundäre Kugelwelle ist um etwa 180° phasenverschoben, da das Atom als Reaktion auf das äußere Feld ein kompensierendes Gegenfeld aufbaut. Die Formel für die zurückreflektierte Sekundärwelle lautet
$$\begin{split}\vec{E}_s(\vec{r},t) = & -\vec{E}_d\left(\vec{r}-\vec{r}_s,\alpha_r\,\vec{E}_d(\vec{r}_s-\vec{r}_p,\vec{d})\right)\cdot \\ & E_a\left(\vec{r}-\vec{r}_s,\vec{r}_s-\vec{r}_p,t\right),\end{split}$$ (2.6.5.4)
wobei $\vec{r}_s$ der Ort ist, an dem sich das reflektierende Atom befindet. Der Parameter $\alpha_r$ ist ein frequenzabhängiger Proportionalitätsfaktor größer Null mit der Einheit Feldstärke/Dipolmoment, welcher angibt, wie stark der sekundäre Dipol auf das Feld des primären Dipols reagiert. Sein Zahlenwert hängt stark von der Feldstärke und der Frequenz ab. Um den Zahlenwert abschätzen zu können, wären intensive Kenntnisse über die Art der hypothetischen Kraft erforderlich, welche die Ladungen in einem Elementarteilchen zusammenhält. Da diese nicht vorhanden sind, kann an dieser Stelle nur grob abgeschätzt werden.

Um nun die gesamte reflektierte Welle der Wand zu erhalten, müssen die einzelnen Sekundärwellen aller Atome in der Wand aufsummiert werden. Die Abbildung 2.6.5.3 zeigt in (A) den Betrag der Feldstärke der Primärwelle eines Teilchens, welches sich rechts neben einer Wand befindet. In (B) ist die zugehörige Sekundärwelle (Reflexion) dargestellt. Es wird deutlich - und es ist auch logisch einsichtig - dass die Sekundärwelle etwa dem Feld entspricht, welches ein Teilchen im gleichen Abstand auf der anderen Seite der Wand erzeugen würde (Anmerkung: Das gilt nur für die Beträge). Die Wand lässt sich also als ein idealer Spiegel auffassen.

Abbildung 2.6.5.3: A: Primärwelle des Teilchens; B: Reflektierte Welle; C: Reflektierte Welle bei einer Wand mit nur einem Loch (Beugung); D: Reflektierte Welle bei einer Wand mit zwei Öffnungen (Interferenz).

Besonders interessant ist es jedoch, wenn die Wand ein oder zwei Öffnungen besitzt. Es ist sofort klar, dass die Spiegelung durch diese Öffnungen gestört wird. In Abbildung 2.6.5.3 ist in (C) und (D) jeweils ein Beispiel dargestellt. Man erkennt, dass bei zwei Öffnungen Interferenz auftritt. Dies lässt sich auch mathematisch begründen, da, wie bereits gesagt wurde, die von der Wand zurückgespiegelte Welle die Summe der Sekundärwellen von allen Atomen in der Wand darstellt. Sofern die Wand keine Inhomogenitäten enthält, besitzt die reflektierte Welle nur eine einfache $1/r^2$-Abhängigkeit. Dies ändert sich, wenn die Wand Lücken aufweist. Um das Feld einer solchen Wand mit Öffnungen zu erhalten, muss man von dem gespiegelten Idealfeld die Sekundärfelder der Atome abziehen, die aufgrund der Öffnungen nicht vorhanden sind. Bei nur einer Öffnung an der Stelle $\vec{r}_1$ ist dieses Fehlfeld wegen Formel (2.6.5.4) proportional zu

$$\vec{E}_d\left(\vec{r}-\vec{r}_1,\vec{E}_d(\vec{r}_1-\vec{r}_p,\vec{d})\right)\,E_a\left(\vec{r}-\vec{r}_1,\vec{r}_1-\vec{r}_p,t\right).$$ (2.6.5.5)
Bei zwei Öffnungen an den Stellen $\vec{r}_1$ und $\vec{r}_2$ ist das abzuziehende Feld hingegen zu
$$\begin{split} & \vec{E}_d\left(\vec{r}-\vec{r}_1,\vec{E}_d(\vec{r}_1-\vec{r}_p,\vec{d})\right)\,E_a\left(\vec{r}-\vec{r}_1,\vec{r}_1-\vec{r}_p,t\right) + \\ & \vec{E}_d\left(\vec{r}-\vec{r}_2,\vec{E}_d(\vec{r}_2-\vec{r}_p,\vec{d})\right)\,E_a\left(\vec{r}-\vec{r}_2,\vec{r}_2-\vec{r}_p,t\right)\end{split}$$ (2.6.5.6)
proportional. Jede der beiden Sekundärwellen ist eine Kugelwelle. Durch deren Überlagerung entsteht die Interferenz.

Wie in den Abschnitten zuvor begründet wurde, ist eine interferierende elektrische Welle mit ponderomotorischen Kräften verbunden. Das bedeutet, dass es durchaus möglich wäre, dass ein schwingendes Teilchen Kräfte auf sich selbst ausübt. Dieser Effekt sollte insbesondere immer dann auftreten, wenn die Spiegelungen nicht vollständig perfekt sind, beispielsweise hinter (oder auch vor!) einer Blende mit mehreren Schlitzen beim Doppelspaltexperiment. Die Blende und das Teilchen bilden bei solchen Experimenten ganz offensichtlich ein gekoppeltes System aus Oszillatoren. Damit ist nun klar, dass hinter den Quanteneffekten beim Doppelspaltexperiment ein ziemlich anschaulicher und sehr physikalisch anmutender Vorgang stecken könnte. Wenn die hier vorgeschlagene Hypothese richtig ist, so ist die Quantenmechanik eine bislang unverstandene Teildisziplin der klassischen Physik.

Im nächsten Abschnitt wird gezeigt, wie sich mit dem zuvor dargestellten Mechanismus auch die diskreten Energieniveaus bei Atomen erklären lassen.