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2.6.6 Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung

Bislang hat es die Physik versäumt zu durchdenken, welche Folgen es hätte, wenn Elektronen nicht strukturlose Elementarladungen sondern zusammengesetzte Teilchen mit einer Permittivität wären. Aufgrund aktueller Experimente wird angenommen, dass das statische Dipolmoment $\vec{d}$ von Elektronen nicht größer als $10.5\cdot 10^{-28}\,e\,cm = 1.68\cdot 10^{-48}\,C\,m$ sein kann [Hudson2011]. Aber selbst dieser kleine Wert ist noch immer zu groß um auszuschließen, dass die Bewegungen von Elektronen auf atomarem Maßstab - d.h. in Abständen von einigen wenigen Ångström - nicht durch ponderomotorische Kräfte beeinflusst oder sogar dominiert werden. Außerdem kann auch ein Objekt mit einem Dipolmoment von exakt Null, immer noch über eine Permittivität $\varepsilon$ verfügen, also in der Lage sein, in einem äußeren elektrischen Feld durch dynamische Polarisation ein Gegenfeld aufzubauen.

Im Gegensatz zu Elektronen, wird es bei Protonen und Neutronen als gegeben erachtet, dass diese aus Subpartikeln bestehen. Aber auch bei diesen Teilchen wurde bisher nicht berücksichtigt, dass ponderomotorische Effekte auftreten könnten. In diesem Abschnitt folgen nun einige prinzipielle Grundüberlegungen zur ponderomotorischen Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung. Dabei wird sich herausstellen, dass es zwischen Elementarteilchen und insbesondere zwischen Elektronen und Protonen Zusatzkräfte geben müsste, die abhängig vom Abstand der Teilchen zueinander mal abstoßend und mal anziehend sind und verschwinden, wenn der Abstand ein ganzzahliges Vielfaches der De-Broglie-Wellenlänge aufweist. Weiterhin wird deutlich werden, dass die Reichweite dieser Zusatzkraft sehr gering ist und deutlich stärker als mit dem Quadrat des Abstandes abnimmt, dadurch aber auf kurze Distanz die elektrostatische Coulombkraft sogar deutlich übersteigen kann.

Wir beginnen unsere Überlegungen mit einem in Summe elektrisch neutralen Modell-Dipol, der bei einer äußeren Feldstärke von Null kein Dipolmoment aufweisen soll. Die Ladungsmengen $+Q$ und $-Q$ des Dipols werden durch Punktladungen modelliert. Der Abstand $\vec{l}$ dieser beiden Punktladungen sei zueinander variabel und im Ruhezustand Null. Das Produkt aus Ladung $Q$ und $\vec{l}$ wird wie üblich als das Dipolmoment $\vec{d} = Q\,\vec{l}$ bezeichnet.

Wir nehmen nun weiterhin an, dass der Dipol unter bestimmten Umständen, die an dieser Stelle noch nicht von Interesse sind, mit einer Kreisfrequenz von $\omega$ linear oszilliert. Falls die Schwingung sinusförmig ist, lässt sich die abgestrahlte elektrische Dipolwelle durch die Formel (2.6.5.1) beschreiben. Um die nachfolgende Rechnung einfach zu halten wird vorausgesetzt, dass sich der Dipol am Koordinatenursprung aufhält und ausschließlich in x-Richtung schwingt. Die x-Komponente der elektrischen Feldstärke für einen Ort mit dem Abstand $r$ auf der x-Achse lautet dann
$$E_p(r,t) = \frac{3\,d\,\omega}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,c\,r^2}\,\cos\left(\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right).$$ (2.6.6.1)
Die beiden anderen Komponenten des Feldstärkevektors sind für $\vec{r}=(r,0,0)$ und $\vec{d}=(d,0,0)$ hingegen Null.

Im vorangegangenen Abschnitt (2.6.5) wurde gezeigt, dass diese Welle von einem anderen gebundenen Teilchen reflektiert werden kann, falls sich dieses hinreichend nah genug aufhält. Die Reflexion entsteht dabei dadurch, dass sich die Ladungen im reflektierenden Teilchen der einfallenden Welle folgend ausrichten und dadurch selbst zur Quelle einer zweiten, sekundären Dipolwelle werden. Das Feld dieser reflektierten Welle lässt sich durch die Formel (2.6.5.4) berechnen. Wir nehmen an, dass sich dieser zweite Dipol bei $\vec{s} = (s,0,0)$ aufhält. Der Abstand des zweiten Dipols vom ersten ist somit $\vert s\vert$ und für die zurückreflektierte Feldstärke $E_s$ gilt am Ort $x$ die Gleichung
$$\begin{split}E_s(x,t) = & -\frac{9\,\alpha_r\,d\,\omega^2}{16\,\pi^2\,\varepsilon_0^2\,c^2\,\vert x-s\vert^2\,\vert x\vert^2}\cdot \\ & \cos\left(\omega\left(t-\frac{\vert s\vert +\vert x - s\vert}{c}\right)\right).\end{split}$$ (2.6.6.2)
Bei dem schwingenden Primärdipol sind beide Teilladungen periodisch räumlich voneinander getrennt. Sie befinden sich daher nicht exakt am Koordinatenursprung, sondern bei
$$x_p = \frac{d}{2\,Q}\,\cos\left(\omega\,t\right)$$ (2.6.6.3)
und
$$x_n = -\frac{d}{2\,Q}\,\cos\left(\omega\,t\right).$$ (2.6.6.4)
Dabei sei $x_p$ der Ort der positiven Teilladung und $x_n$ der Ort, an dem sich die negative Teilladung aufhält. Beides setzen wir nun jeweils in die Formel (2.6.6.2) ein, die wir zusätzlich mit der jeweiligen Ladung multiplizieren um von der elektrischen Feldstärke zu einer Kraft zu gelangen. Die Summe aus beidem stellt dann die Gesamtkraft
$$F_s(t) = Q\,E_s(x_p,t) + (-Q)\,E_s(x_n,t)$$ (2.6.6.5)
dar, die der primäre Dipol durch die reflektierte Welle erfährt.

Die resultierende Formel lässt sich noch etwas übersichtlicher gestalten, wenn man ausnutzt, dass das Dipolmoment $\vec{d}$ außerordentlich klein ist. Aus diesem Grund lässt sich $F_s(t)$ bezüglich $d$ an der Stelle $0$ in eine Taylorreihe entwickeln. Als Näherung zweiter Ordnung erhält man ($Q$ kürzt sich dabei heraus)
$$\begin{split}F_s(t) \approx & -\frac{9\,\alpha_r\,d^2\,\omega^2\,\cos\left(\omega\,t\right)}{(4\,\pi\,\varepsilon_0\,c)^2\,s^5}\,\left(2\,\cos\left(\omega\,t - \omega\,\frac{2\,\vert s\vert}{c}\right) - \right. \\ & \left. \frac{\omega\,\vert s\vert}{c}\,\sin\left(\omega\,t - \omega\,\frac{2\,\vert s\vert}{c}\right)\right).\end{split}$$ (2.6.6.6)
Im nächsten Schritt wird diese Kraft durch Berechnung des Ausdrucks
$$\overline{F}_s = \lim\limits_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} F_s(t)\,\mathrm{d}t$$ (2.6.6.7)
zeitlich gemittelt. Dadurch werden die schnellen zeitabhängigen Anteile entfernt und es folgt
$$\overline{F}_s \approx -\frac{9\,\alpha_r\,d^2\,\omega^2}{32\,\pi^2\,\varepsilon_0^2\,c^2\,s^4}\,\left(\frac{2}{s}\,\cos\left(\frac{2\,s\,\omega}{c}\right) + \frac{\omega}{c}\,\sin\left(\frac{2\,s\,\omega}{c}\right)\right).$$ (2.6.6.8)
Diese Kraft lässt sich leicht in eine potentielle Energie $U_s = -\int\limits_{r}^{\infty}\overline{F}_s\,\mathrm{d}s$ umrechnen und man erhält
$$U_s = -\frac{9\,\alpha_r\,d^2\,\omega^2}{64\,\pi^2\,\varepsilon_0^2\,c^2\,r^4}\,\cos\left(\frac{2\,r\,\omega}{c}\right).$$ (2.6.6.9)


Das dynamische Dipolmoment $d$ eines Elektrons ist im Moment noch nicht bekannt, ebenso der Reflexionsparameter $\alpha_r$ eines Protons. Daher ist es an dieser Stelle notwendig plausibel zu schätzen. Die Abbildung 2.6.6.1 zeigt das Potential für ein Dipolmoment von $d = 10^{-48} \mathrm{C\,m}$, also dem Wert, der als bisherige Untergrenze für das statische Dipolmoment des Elektrons gilt.

Abbildung 2.6.6.1: Die Kurve zeigt die potentielle Energie, die ein Teilchen, das mit der Kreisfrequenz $\omega$ schwingt, aufgrund der auf sich selbst zurückreflektierten elektrischen Welle hätte. Die Parameter $\alpha$ und $d$ werden geschätzt.

Was auffällt ist die hohe Frequenz im EHz-Bereich, was bei einem Photon bereits Gammastrahlung entsprechen würde. Ein in sich selbst schwingendes Elektron ist jedoch kein Photon, von denen aufgrund experimenteller Fakten bekannt ist, dass sie eine kinetische Energie $T = \hbar\,\omega = h\,f$ besitzen, wenn sie auf eine Oberfläche aufschlagen. Photonen enthalten bei der gleichen Frequenz $f$ viel mehr Energie, da sie sich mit praktisch Lichtgeschwindigkeit bewegen. Bei einem Elektron muss die kinetische Energie stattdessen über die De-Broglie-Beziehung abgeschätzt werden. Bei Elektronen-Interferenz-Experimenten wurde nämlich festgestellt, dass die Wellenlänge $\lambda$ der Interferenzmuster eine Funktion des Impulses $p = m\,v$ der Elektronen im Elektronenstrahl ist. Die De-Broglie-Wellenlänge lautet

$$\lambda = \frac{h}{m\,v}.$$ (2.6.6.10)
Der Binnenlogik des Vorangegangenen folgend gilt aber $\lambda = c/f$, denn es sind die elektrischen Wellen, die das in sich selbst schwingende Elektron abstrahlt, welche den Abstand der Interferenzstreifen beim Doppelspaltexperiment oder bei der Elektronenbeugung bestimmen. Und diese elektrischen Wellen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit $c$ und nicht mit der Teilchengeschwindigkeit $v$. Damit folgt dann
$$\frac{h}{m\,v} = \frac{c}{f} \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{h\,f}{m\,c}.$$ (2.6.6.11)
Für langsame Teilchengeschwindigkeiten $v$ ist die kinetische Energie $T = 1/2\,m\,v^2$. Mit Gleichung (2.6.6.11) folgt daraus
$$T = \frac{(h\,f)^2}{2\,m\,c^2} \approx 150.6\,\mathrm{eV},$$ (2.6.6.12)
was die richtige Größenordnung besitzt. Ein Photon hätte bei der Frequenz $f = 3\cdot 10^{18}Hz$ hingegen eine Energie von $12.4\mathrm{keV}$.

Man kann die kinetische Energie aber auch über die Compton-Wellenlänge
$$\lambda_c = \frac{h}{m\,c}$$ (2.6.6.13)
bestimmen. Löst man nach $h$ auf und setzt dies in die Formel (2.6.6.12) ein, so erhält man
$$T = \frac{1}{2}\,m\,(\lambda_c\,f)^2.$$ (2.6.6.14)
Für $\lambda_c = v/f$ folgt daraus der bekannte Zusammenhang $T =1/2\,m\,v^2$.

Wir fassen zusammen: Die elektrischen Ladungen in einem Teilchen mit dem Impuls $p =m\,v$ schwingen bei Experimenten offenbar mit der Frequenz $f$ die linear vom Impuls $p$ abhängt. Dabei wird eine elektrische Welle der gleichen Frequenz $f$ und der Wellenlänge $\lambda$ abgestrahlt. Diese Wellenlänge wird als De-Broglie-Wellenlänge bezeichnet. Der Weg, den das schwingende Teilchen hingegen innerhalb einer Periode zurücklegt, ist die Compton-Wellenlänge $\lambda_c$. Es gelten die Beziehungen
$$\lambda = \frac{c}{f},\quad \lambda_c = \frac{v}{f}, \quad\text{mit}\quad f = \frac{c}{h}\,p.$$ (2.6.6.15)
Die Animation 2.6.5.2 zeigt, wie man sich eine reale "Materiewelle" anschaulich vorzustellen hat.

Nachdem diese grundlegenden Überlegungen durchgeführt worden sind, können wir den Verlauf der Kurve in Abbildung 2.6.6.1 analysieren. Dabei fällt auf, dass ein Elektron, welches mit der gegebenen Kreisfrequenz $\omega$ in sich selbst schwingt, abhängig vom Abstand mal weniger und mal mehr Energie als ein Elektron besitzt, welches sich in großem Abstand zum Proton aufhält. Energetisch betrachtet sind solche Zonen, in denen das Elektron mehr Energie besitzt als ein freies Elektron verboten. Es ist möglich, dass diese Zonen durch ein Elektron mit genügend großer kinetischer Energie durchdrungen werden. Dauerhaft aufhalten kann es sich hier hingegen nicht, da es ein universelles Prinzip zu sein scheint, dass in der Natur alles solange durch Wechselwirkung mit der Umgebung Energie abgibt, bis in dem System ein Minimum erreicht wird. Aus diesem Grund wird ein Elektron in der Nähe eines Protons immer in die Bereiche streben, in denen die potentielle Energie ein lokales Minimum aufweist.

Im konkreten Fall der Abbildung 2.6.6.1 liegt ein solches Minimum für ein Elektron mit der Frequenz von $3\,\mathrm{EHz}$ bei ca. $0.45\,\text{Å}$. Das globale Minimum befindet sich jedoch bei $r=0$. Um hier hin zu gelangen müsste das Elektron aber die enorme Potentialbarriere durchdringen, die sich im Bereich dazwischen wegen der $1/r^4$-Abhängigkeit auftürmt. Dazu würde es entweder enorme Mengen an kinetischer Energie benötigen oder es müsste sich dem Proton ohne zu schwingen nähern. Im ersten Fall hätte das Elektron nicht nur sehr viel kinetische Energie, sondern auch einen sehr großen Impuls und damit eine hohe Frequenz. Die innere Potentialbarriere würde also mit der Teilchenenergie anwachsen. Im zweiten Fall müsste das Elektron beim Annähern an das Proton gezielt auf beinahe Nullgeschwindigkeit abgebremst werden, um zu verhindern, dass ponderomotorische Kräfte entstehen. Das Proton bildet jedoch aufgrund der $1/r^2$-Abhängigkeit der Coulombkraft eine Singularität mit sehr starken elektrischen Kräften und entsprechend hohen Beschleunigungen.

Es wird deutlich, dass der hier beschriebene Mechanismus verhindert, dass das Elektron in das Proton stürzt. Stattdessen gibt es mehrere Abstände und Bewegungszustände, in dem das Gesamtsystem aus Proton und Elektron jeweils ein lokales Energieminimum besitzt. Damit ist klar, dass die ponderomotorische Kraft - zumindest qualitativ - als Erklärung für die diskreten Energieniveaus bei Atomen dienen könnte.