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2.8.3 Der Quantinodruck einer einzelnen Punktladung

Quantinos vermitteln Kräfte. Und Kräfte sind gerichtete Größen. Die effektive Quantinodichte (2.8.1.9), welche in Abschnitt 2.8.1 hergeleitet wurde, ist hingegen skalar und erfasst die Menge an Quantinos am Ort eines Empfängers aus dessen subjektiver Sicht. Dabei macht die effektive Quantinodichte so gut wie keine Aussage über die Geschwindigkeiten der Quantinos; nur dass sie (aus Sicht des Empfängers) nicht schneller sind als $c$. Die Bewegungsrichtungen und die Beträge werden hingegen komplett vernachlässigt. Da diese für die Kraft aber von Bedeutung sind, kann die effektive Quantinodichte nicht zur Beschreibung der elektrischen Kraft herangezogen werden. Um daher die Kraftwirkung zu berechen, die das Quantinofeld einer Punktladung an einer anderen ausübt, ist es nötig einige Schritte zurückzugehen und bei Formel (2.8.1.4) anzusetzen, welche den Dichteanteil von Quantinos beschreibt, die zum Zeitpunkt $\tau$ mit der Emissionsgeschwindigkeit $w$ emittiert wurden.

Es wird nun das Postulat benötigt, welches annimmt, dass die kinetische Energie $T_a$ die ein Quantino bei der Wechselwirkung mit einer Elementarladung an diese vermittelt proportional zum Quadrat der Relativgeschwindigkeit ist. Es gilt dann
$$T_a = \frac{1}{2}m_{pho}\,w^2.$$ (2.8.3.1)
$m_{pho}$ ist hierbei eine Proportionalitätskonstante mit der Einheit $kg$, bei der es sich jedoch nicht um eine schwere oder träge Masse handelt, da Quantinos derartiges nicht besitzen. Multipliziert man nun die kinetische Energie mit der Richtung der Quantinobewegung, so erhält man einen Vektor
$$\vec{T}_a = T_a\,\frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau)}{\Vert\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert},$$ (2.8.3.2)
welcher den Energietransport beschreibt, der aus der Bewegung des Quantinos resultiert.

Es wird angemerkt, dass ein Quantino zwar Energie und Impuls transportiert, beides der Quelle aber nicht entzieht. Stattdessen ist ein Quantino wie ein neuer frischer Geldschein, welcher von einer Zentralbank gedruckt und emittiert wird. Erst wenn damit etwas gekauft wird, entfaltet dieser seine Wirkung. Dass die Energie- und Impulserhaltung trotz dieser "Inflationspolitik" gilt, wurde in Abschnitt 2.4 gezeigt.

Multipliziert man diesen Energievektor $\vec{T}_a$ mit der Quantinodichte (2.8.1.4) und integriert anschließend über alle vergangenen Zeitpunkte $\tau$ bis zur Gegenwart $t$ sowie über alle Quantino-Emissionsgeschwindigkeiten $w$, so erhält man das Vektorfeld
$$\vec{\mathcal{P}}_a = \int\limits_{0}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{t} \,\vec{T}_a\, p_{\tau}(\vec{r}_d(t),w,t,\tau)\,\d{\tau}\,\d{w}.$$ (2.8.3.3)
Die Einheit dieses Ausdrucks ist
$$\frac{\text{Energie}}{\text{Volumen}} = \frac{\text{Impuls}}{\text{Fläche}\cdot\text{Zeit}} = \frac{\text{Kraft}}{\text{Fläche}} = \text{Druck},$$ (2.8.3.4)
was zeigt, dass der Betrag des Feldes der Energiedichte entspricht. Andererseits beschreibt das Vektorfeld, wieviel Impuls pro Zeit durch eine Fläche hindurch tritt. Es handelt sich damit formal um eine Kraftflussdichte mit der Einheit eines Druckes, weswegen er im Nachfolgenden als absoluter Quantinodruck bezeichnet werden soll, obwohl ein Druck üblicherweise nur eine skalare Größe darstellt.

Der absolute Quantinodruck $\vec{\mathcal{P}}_a$ ist allerdings kaum von Relevanz, da letztlich nur die Wirkung der Quantinos auf einen Empfänger von Interesse ist. Und dieser Empfänger nimmt den "Quantinowind" in seinem eigenen Bezugssystem wahr. Aus diesem Grund wird im nächsten Schritt ein effektiver Quantinodruck definiert, indem
  1. die kinetischen Energien der Quantinos in das Bezugssystem des Empfängers transformiert (genau so, wie man es auch bei einem Gas tun würde, wenn man die Wirkung eines Windes berechnen wollte) und
  2. bei der Integration über die Emissionsgeschwindigkeiten die Anteile herausfiltert werden, die für den Empfänger zu schnell sind.
Aus Sicht eines Empfängers haben die Quantinos die Geschwindigkeit
$$\frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(\tau)}{t-\tau}-\dot{\vec{r}}_d(t).$$ (2.8.3.5)
Damit gilt für die kinetische Energie $T_e$ aus Sicht des Empfängers der Zusammenhang
$$T_e = \frac{1}{2}m_{pho}\,\left\Vert\frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(\tau)}{t-\tau}-\dot{\vec{r}}_d(t)\right\Vert^2.$$ (2.8.3.6)

Den Energievektor $\vec{T}_e$ erhält man, indem man die kinetische Energie $T_e$ mit genau dem selben Richtungsvektor multipliziert, der schon in Gleichung (2.8.3.2) Verwendung fand. Der Grund für die Nichttransformation des Richtungsvektors ist im Übrigen der, dass letztlich nur die Reaktion des Empfängers aus der Sicht eines mit dem Koordinatensystem in Ruhe befindlichen Beobachters von Interesse ist. Die Stärke der Reaktion ist natürlich proportional zur kinetischen Energie aus Sicht des Empfängers. Die Richtung der Reaktion erfolgt aber im Koordinatensystem des Beobachters.

Außerdem ist noch eine weitere Subtilität zu beachten. Es kann nämlich vorkommen, dass sich einige Quantinos langsamer von der Quelle entfernen, als dieses beim Empfänger der Fall ist. Unter diesen Umständen erscheint es dem Empfänger so, als ob sich diese Quantinos aus der Gegenrichtung kommend nähern! Auch die Reaktionsrichtung kehrt sich damit um. Wie sich zeigt, erklärt sich durch diesen Effekt die Trägheit und die träge Masse.

Der Energievektor lautet unter Berücksichtigung dieses "Quantinoumkehreffektes"
$$\begin{split}\vec{T}_e = & T_e\,\frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau)}{\Vert\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert}\cdot \\ & \sgn\left((\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau))\,\left(\frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(\tau)}{t-\tau}-\dot{\vec{r}}_d(t)\right)\right).\end{split}$$ (2.8.3.7)
Mit Hilfe dieses effektiven Energievektors $\vec{T}_e$ ist es nun möglich, den effektiven Quantinodruck
$$\begin{split}\vec{\mathcal{P}}_e := & \int\limits_{0}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{t} \,\intfunc_{0}^{c}\left(\left\Vert \frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(\tau)}{t-\tau}-\dot{\vec{r}}_d(t)\right\Vert\right)\cdot \\ & \vec{T}_e\, p_{\tau}(\vec{r}_d(t),w,t,\tau)\,\d{\tau}\,\d{w}\end{split}$$ (2.8.3.8)
zu definieren, der im Weiteren einfach kurz als der Quantinodruck bezeichnet wird. Die Intervallfunktion übernimmt in Formel (2.8.3.8) im Übrigen wieder die Aufgabe des Filters zur Entfernung von Geschwindigkeitsanteilen, die für den Empfänger zu schnell sind, sich also nicht lange genug in seinem Einflussbereich befinden.

Gleichung (2.8.3.8) kann noch deutlich vereinfacht werden. Durch Einsetzen der Gleichung (2.8.1.4) folgt zunächst
$$\begin{split}\vec{\mathcal{P}}_e = & \int\limits_{0}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{t} \,\intfunc_{0}^{c}\left(\left\Vert \frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(\tau)}{t-\tau}-\dot{\vec{r}}_d(t)\right\Vert\right)\,\vec{T}_e\,\cdot\\ & \frac{a_c}{4\,\pi} \Gamma(w) \frac{ \delta\left(\Vert\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert- w (t-\tau)\right)}{\Vert\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert^2} \,\d{\tau}\,\d{w}.\end{split}$$ (2.8.3.9)
Aufgrund der Dirac-Funktion kann die Integration bezüglich $w$ sofort ausgeführt werden und man erhält nach etwas Umsortieren der Terme das Integral
$$\begin{split}\vec{\mathcal{P}}_e = & \frac{a_c}{4\,\pi} \,\int\limits_{-\infty}^{t} \vec{T}_e\,\Gamma\left(\frac{\Vert\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert}{t-\tau}\right) \cdot \\ & \frac{\intfunc_{0}^{c}\left(\left\Vert \frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(\tau)}{t-\tau}-\dot{\vec{r}}_d(t)\right\Vert\right)}{(t-\tau)\,\Vert\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau)\Vert^2} \,\d{\tau}.\end{split}$$ (2.8.3.10)
Ein Vergleich der Formel des Quantinodrucks (2.8.3.10) mit der Formel der Quantinodichte (2.8.1.9) zeigt im Übrigen den engen Zusammenhang zwischen den beiden Größen.

Zum Abschluss werden die Geschwindigkeiten
$$\vec{w}(\tau) := \frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(\tau)}{t-\tau} - \dot{\vec{r}}_s(\tau)$$ (2.8.3.11)
und
$$\vec{u}(\tau) := \frac{\vec{r}_d(t)-\vec{r}_s(\tau)}{t-\tau} - \dot{\vec{r}}_d(t)$$ (2.8.3.12)
definiert. Aufgrund von Gleichung (2.8.1.2) gilt
$$\vec{r}_d(t)-\vec{r}_c(t,\tau) = \vec{r}_d(t) - \vec{r}_s(\tau) - \dot{\vec{r}}_s(\tau)(t-\tau) = \vec{w}(\tau)(t-\tau).$$ (2.8.3.13)
Setzt man das und die Defintion (2.8.3.12) in den Quantinodruck (2.8.3.10) ein, so erhält man
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c}{4\,\pi} \,\int\limits_{-\infty}^{t} \vec{T}_e\,\Gamma\left(w(\tau)\right) \, \frac{\intfunc_{0}^{c}\left(u(\tau)\right)}{(t-\tau)^3\,w(\tau)^2} \,\d{\tau}.$$ (2.8.3.14)
Das Einsetzen des Energievektors (2.8.3.7) ergibt zusammen mit (2.8.3.6), (2.8.3.11), (2.8.3.12) und (2.8.3.13) die vergleichsweise übersichtliche Formel
$$\begin{split}\vec{\mathcal{P}}_e = & \frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi} \,\int\limits_{-\infty}^{t} \frac{u(\tau)^2\,\vec{w}(\tau)\,\sgn\left(\vec{w}(\tau)\,\vec{u}(\tau)\right)}{(t-\tau)^3\,w(\tau)^3}\cdot \\ & \Gamma\left(w(\tau)\right)\,\intfunc_{0}^{c}\left(u(\tau)\right) \,\d{\tau},\end{split}$$ (2.8.3.15)
die außerordentlich allgemeingültig ist, da sich mit ihr die elektrische, die magnetische, die gravitative Kraft zwischen beliebig bewegten, also auch beschleunigten Elementarladungen berechnen lässt. Zusätzlich lässt sich aus ihr die Trägheitskraft eines Teilchens auf sich selbst bestimmen.