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2.8.6 Der Quantinodruck einer schwingenden Einheitsladung

In diesem Abschnitt wird eine sich am Koordinatenursprung befindliche Einheitsladung betrachtet, die mit der Kreisfrequenz $\omega$ schwingt. Ihre Schwingungsachse $\vec{d}$ sei dabei fest aber beliebig. Es wird bei der nachfolgenden Rechnung davon ausgegangen, dass die räumliche Auslenkung der Einheitsladung vom Nullpunkt gering genug ist, um sie vollständig zu vernachlässigen. Mathematisch formuliert soll also gelten
$$\vec{r}_{s}(t) = \vec{d}\,\sin(\omega\,t) \approx 0$$ (2.8.6.1)
für alle $t$. Die zeitveränderliche Geschwindigkeit
$$\vec{v}_{s}(t) = \vec{d}\,\omega\,\cos(\omega\,t)$$ (2.8.6.2)
mit der Maximalgeschwindigkeit $d\,\omega$ soll hingegen nicht vernachlässigt werden. Mit diesen Modelleigenschaften folgt aus den Gleichungen (2.8.3.11) und (2.8.3.12)
$$\vec{w}(\tau) := \frac{\vec{r}}{t-\tau} - \vec{d}\,\omega\,\cos(\omega\,\tau)$$ (2.8.6.3)
und
$$\vec{u}(\tau) := \frac{\vec{r}}{t-\tau} - \vec{v},$$ (2.8.6.4)
wobei $\vec{r} := \vec{r}_d(t)$ die Position des Empfängers und $\vec{v} := \dot{\vec{r}}_d(t)$ dessen Geschwindigkeit zum Zeitpunkt $t$ ist.

Das Einsetzen der Gleichungen (2.8.6.3) und (2.8.6.4) in den Quantinodruck (2.8.3.15) und Substitution von $t-\tau$ mit $\tau_s$ ergibt
$$\begin{split} \vec{\mathcal{P}}_e = & \frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi}\int\limits_{0}^{\infty} \intfunc_{0}^{c}\left(\left\Vert \frac{\vec{r}}{\tau_s} - \vec{v}\right\Vert\right) \,\left\Vert\frac{\vec{r}}{\tau_s}-\vec{v}\right\Vert^2\,\cdot \\ & \Gamma\left(\frac{\Vert\vec{r}-\vec{d}\,\omega\,\cos(\omega\,(t-\tau_s))\,\tau_s\Vert}{\tau_s}\right) \cdot \\ & \frac{\left(\vec{r}-\vec{d}\,\omega\,\cos(\omega\,(t-\tau_s))\,\tau_s\right)}{\tau_s\,\Vert\vec{r}-\vec{d}\,\omega\,\cos(\omega\,(t-\tau_s))\,\tau_s\Vert^3}\,\d{\tau_s}, \end{split}$$ (2.8.6.5)
sofern man den Quantinoumkehreffekt vernachlässigt, der aber nur für Geschwindigkeiten $\vec{v}$ nahe der Lichtgeschwindigkeit oder bei extrem kurzen Abständen von der Quelle eine Rolle spielt. Im nächsten Schritt kann man sich der Intervallfunktion entledigen, indem man sich überlegt, dass das Argument $\left\Vert \vec{r}/\tau_s - \vec{v}\right\Vert$ niemals kleiner Null werden kann und nur dann $c$ überschreitet, wenn eine bestimmte Grenze $\tau_c$, gegeben durch Formel (2.8.4.5), unterschritten wird. Man kann die Intervallfunktion daher weglassen und stattdessen die untere Grenze des Integrals verändern. Man erhält
$$\begin{split}\vec{\mathcal{P}}_e = & \frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi}\int\limits_{\tau_c}^{\infty}\,\left\Vert\frac{\vec{r}}{\tau_s}-\vec{v}\right\Vert^2\,\Gamma\left(\frac{\Vert\vec{r}-\vec{d} \omega \cos(\omega\,(t-\tau_s))\,\tau_s\Vert}{\tau_s}\right) \cdot \\ & \frac{\left(\vec{r}-\vec{d} \omega \cos(\omega\,(t-\tau_s))\,\tau_s\right)}{\tau_s\Vert\vec{r}-\vec{d}\omega\cos(\omega\,(t-\tau_s))\,\tau_s\Vert^3}\d{\tau_s}.\end{split}$$ (2.8.6.6)
Weiterhin ist es auch hier wieder sinnvoll die Emissionsgeschwindigkeitsverteilung durch den Polynomansatz (2.8.4.7) zu ersetzen. Damit folgt
$$\begin{split}\vec{\mathcal{P}}_e = & \frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \Gamma_k\,\int\limits_{\tau_c}^{\infty}\,\left\Vert\frac{\vec{r}}{\tau_s}-\vec{v}\right\Vert^2\,\frac{1}{\tau_s^{k+1}}\cdot \\ & \frac{\vec{r}-\vec{d}\,\omega\,\cos(\omega\,(t-\tau_s))\,\tau_s}{\Vert\vec{r}-\vec{d}\,\omega\,\cos(\omega\,(t-\tau_s))\,\tau_s\Vert^{3-k}}\,\d{\tau_s}.\end{split}$$ (2.8.6.7)
Eine weitere Vereinfachung ist möglich, wenn man die Tatsache ausnutzt, dass $d$ sehr klein ist. Aufgrund der Voraussetzung (2.8.6.1) führt die Bewegung mit der Geschwindigkeit (2.8.6.2) nicht zu einer nennenswerten Auslenkung. Es ist daher möglich Ausdruck (2.8.6.7) in Bezug auf $d$ an der Stelle Null in eine Taylorreihe zu entwickeln und diese nach dem ersten Glied abzubrechen. Das Ergebnis dieses Schrittes lautet
$$\begin{split}\vec{\mathcal{P}}_e = & \frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma_k}{r^{3-k}}\,\int\limits_{\tau_c}^{\infty}\,\left\Vert\frac{\vec{r}}{\tau_s}-\vec{v}\right\Vert^2\,\frac{1}{\tau_s^{k+1}}\cdot \\ & \left(\vec{r} - \tau_s\,\cos(\omega\,(t-\tau_s))\,\omega\,\vec{\xi}_k\right)\,\d{\tau_s}\end{split}$$ (2.8.6.8)
mit
$$\vec{\xi}_k = \vec{d} + (k-3)\,\frac{1}{r^2}\,(\vec{r}\cdot\vec{d})\,\vec{r}.$$ (2.8.6.9)

Indem man das Betragsquadrat ausmultipliziert und etwas umstrukturiert gelangt man zu
$$\begin{split}\vec{\mathcal{P}}_e = & \frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma_k}{r^{3-k}}\,\int\limits_{\tau_c}^{\infty}\,\vec{r}\,\left(\frac{r^2}{\tau_s^{k+3}}-\frac{2\,\vec{r}\,\vec{v}}{\tau_s^{k+2}} + \frac{v^2}{\tau_s^{k+1}}\right)\,\d{\tau_s} - \\ & \frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma_k\,\omega\,\vec{\xi}_k}{r^{3-k}}\,\int\limits_{\tau_c}^{\infty}\cos(\omega\,(t-\tau_s))\cdot \\ & \left(\frac{r^2}{\tau_s^{k+2}}-\frac{2\,\vec{r}\,\vec{v}}{\tau_s^{k+1}} + \frac{v^2}{\tau_s^{k}}\right)\,\d{\tau_s}.\end{split}$$ (2.8.6.10)
Dieses Integral lässt sich schließlich lösen und man erhält
$$\begin{split}\vec{\mathcal{P}}_e = & \frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma_k}{r^{3-k}}\,\,\vec{r}\,\left(\frac{r^2}{(k+2)\,\tau_c^{k+2}}- \right. \\ & \left. \frac{2\,\vec{r}\,\vec{v}}{(k+1)\,\tau_c^{k+1}} + \frac{v^2}{k\,\tau_c^{k}}\right) - \\ & \frac{a_c\,m_{pho}}{8\,\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma_k\,\omega\,\vec{\xi}_k}{r^{3-k}}\,\left(r^2\,\mathcal{C}_{k+2}-2\,\vec{r}\,\vec{v}\,\mathcal{C}_{k+1} + v^2\,\mathcal{C}_{k}\right). \end{split}$$ (2.8.6.11)
Dabei wurde aus Gründen der Lesbarkeit die Abkürzung
$$\begin{split} \mathcal{C}_k := & \frac{(-\omega)^{k-1}}{(k-1)!}\,\left(\sum\limits_{i=1}^{k-1}\frac{(i-1)!}{(\omega\,\tau_c)^{i}}\,\cos\left(\omega\,(t-\tau_c)+(k+i-1)\,\frac{\pi}{2}\right)\right. - \\ & \left.\left(\sin\left(\omega\,t+k\,\frac{\pi}{2}\right)\,\mathrm{Ci}\left(\omega\,\tau_c\right)\right.\right. + \\ & \left.\left.\cos\left(\omega\,t+k\,\frac{\pi}{2}\right)\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{Si}\left(\omega\,\tau_c\right)\right)\right)\right) \end{split}$$ (2.8.6.12)
eingeführt, welche lediglich die Lösung des Integrals
$$\mathcal{C}_k = \int\limits_{\tau_c}^{\infty}\frac{\cos(\omega\,(t-\tau_s))}{\tau_s^{k}}\,\d{\tau_s}$$ (2.8.6.13)
darstellt.

2.8.7 Die Primärwelle des Hertzschen-Dipols

Der in Abschnitt 2.8.6 hergeleitete Quantinodruck (Formel 2.8.6.11) gilt für eine einzelne harmonisch schwingende positive Einheitsladung. Für die nachfolgenden Überlegungen wird jedoch ein in sich selbst neutrales Objekt, ein sogenanntes gebundenes Teilchen, benötigt. Zu diesem Zweck wird eine zweite, entgegengesetzt schwingende negative Einheitsladung hinzugefügt, indem von Formel (2.8.6.11) der gleiche Term mit invertierten $\mathcal{C}_k$'s subtrahiert wird. Der erste Term entfällt dadurch, während sich der zweite verdoppelt. Man erhält den Ausdruck
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{a_c\,\omega\,m_{pho}}{4\,\pi}\,\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\Gamma_k\,\vec{\xi}_k}{r^{3-k}}\,\left(r^2\,\mathcal{C}_{k+2}-2\,\vec{r}\,\vec{v}\,\mathcal{C}_{k+1} + v^2\,\mathcal{C}_{k}\right).$$ (2.8.7.1)

Obwohl die Formel (2.8.7.1) bereits einige Näherungen enthält, ist sie für die weiteren Überlegungen noch immer zu komplex. Insbesondere die $\mathcal{C}_k$ Faktoren (2.8.6.12) machen Probleme, da sie den Integralcosinus sowie den Integralsinus enthalten. Man kann sich dieser Terme allerdings entledigen, indem man die Näherungen
$$\mathrm{Ci}(x) \approx \frac{\sin(x)}{x}$$ (2.8.7.2)
und
$$\mathrm{Si}(x) \approx \frac{\pi}{2}-\frac{\cos(x)}{x}$$ (2.8.7.3)
verwendet, die für $x > 2\,\pi$ bereits recht brauchbar sind und die für wachsendes $x$ immer besser werden. Mit ihrer Hilfe lässt sich Formel (2.8.6.12) zu
$$\mathcal{C}_k \approx \frac{(-\omega)^{k-1}}{(k-1)!}\,\sum\limits_{i=2}^{k-1}\frac{(i-1)!}{(\omega\,\tau_c)^{i}}\,\cos\left(\omega\,(t-\tau_c)+(k+i-1)\,\frac{\pi}{2}\right)$$ (2.8.7.4)
vereinfachen, was besonders für das Fernfeld, also für mehrere Wellenlängen Abstand, eine ausgezeichnete Approximation darstellt.

Eine weitere Vereinfachungsmöglichkeit besteht darin, für die Emissionsverteilung $\Gamma$ Linearität anzunehmen, d.h. Formel (2.8.1.11) zu verwenden. In Abschnitt 2.8.5 wurde gezeigt, dass der korrekte Verlauf etwas davon abweicht. Vergleicht man den Näherungsansatz (2.8.1.11) mit den Zahlenwerten der Lösungen (2.8.5.8) so erkennt man, dass $\Gamma_1 \approx 6/c$ sein muss, sofern man die Parameter höheren Grades vernachlässigt. Mit Hilfe dieser Näherung folgt aus Gleichung (2.8.7.1) das Modell
$$\begin{split}\vec{\mathcal{P}}_e \approx & \frac{a_c\,\omega\,m_{pho}}{4\,\pi}\,\frac{6}{c}\,\frac{\vec{\xi}_1}{r^{2}}\,\left(r^2\,\mathcal{C}_{3}-2\,\vec{r}\,\vec{v}\,\mathcal{C}_{2} + v^2\,\mathcal{C}_{1}\right) \\ = & \frac{3\,a_c\,\omega\,m_{pho}}{4\,\pi\,c\,\tau_c^2}\,\vec{\xi}_1\,\cos(\omega\,(t-\tau_c)).\end{split}$$ (2.8.7.5)
Durch Ersetzen von $\vec{\xi}_1$ mit der Definition (2.8.6.9) folgt
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{3\,a_c\,\omega\,m_{pho}}{4\,\pi\,c\,\tau_c^2}\,\left(\vec{d} - 2\,(\vec{r}\cdot\vec{d})\,\frac{\vec{r}}{r^2}\right)\,\cos(\omega\,(t-\tau_c)).$$ (2.8.7.6)
$\tau_c$ ist hierbei durch Gleichung (2.8.4.5) gegeben. Zum Schluss wird noch die Gleichung (2.8.5.4) verwendet und es folgt
$$\vec{\mathcal{P}}_e = \frac{3\,e^2\,\mu_0\,\omega}{4\,\pi\,\sigma_e\,c\,\tau_c^2}\,\left(\vec{d} - 2\,(\vec{d}\cdot\vec{r})\,\frac{\vec{r}}{r^2}\right)\,\cos\left(\omega\left(t-\tau_c\right)\right).$$ (2.8.7.7)

Alternativ kann man anstatt des Quantinodruckes $\vec{\mathcal{P}}_e$ auch die elektrische Feldstärke $\vec{E}_p$ verwenden. Diese erhält man durch die Formel (2.8.5.3), indem man berücksichtigt, dass die elektrische Feldstärke als Quotient aus Kraft $\vec{F}$ und Zielladung $q_d$ definiert ist. Verwendet man gleichzeitig die Beziehungen $c^2\,\mu_0 = 1/\varepsilon_0$ und (2.8.4.5), so erhält man die elektrische Feldstärke, die auf einen Empfänger mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ zum Zeitpunkt $t$ am Ort $\vec{r}$ wirken würde, wenn der Dipol am Koordinatenursprung ruht und dort mit $\cos(\omega\,t)$ schwingt:
$$\begin{split}\vec{E}_p(\vec{r},\vec{v},\vec{p},t) = & \frac{\frac{3\,\omega\,c}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\left(\vec{p} - 2\,(\vec{p}\cdot\vec{r})\,\frac{\vec{r}}{r^2}\right)\,\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^2}{\left(\sqrt{r^2 c^2 - \Vert\vec{r}\times\vec{v}\Vert^2} - \vec{r}\,\vec{v}\right)^2} \cdot \\ & \cos\left(\omega\,t-\omega\,\frac{\sqrt{r^2 c^2 - \Vert\vec{r}\times\vec{v}\Vert^2} - \vec{r}\,\vec{v}}{c^2 - v^2}\right) \end{split}$$ (2.8.7.8)
Hierbei ist
$$\vec{p} := q_s\,\vec{d}$$ (2.8.7.9)
das elektrische Dipolmoment. Da ein Dipol im Gesamten elektrisch neutral ist, ist $q_s$ in diesem Zusammenhang die gesamte positive Ladungsmenge, die im Dipol enthalten ist. $\vec{d}$ hingegen bestimmt die Schwingungsachse, sowie die maximale Auslenkung der Ladungen bei der Schwingung.

Das elektrische Feld (2.8.7.8) gilt trotz der zahlreichen Näherungen auch für vergleichsweise schnelle Relativgeschwindigkeiten $v < c$ zwischen Dipol und Empfänger (Es wurde nur der Quantinoumkehreffekt vernachlässigt). Für einen ruhenden Empfänger kann die Gleichung allerdings stark vereinfacht werden. Man erhält in diesem Fall
$$\vec{E}_p(\vec{r},\vec{p},t) \approx \frac{3\,\omega}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,c}\,\left(\vec{p} - 2\,(\vec{p}\cdot\vec{r})\,\frac{\vec{r}}{r^2}\right)\, \frac{1}{r^2}\,\cos\left(\omega\left(t-\frac{r}{c}\right)\right).$$ (2.8.7.10)
Die Abbildung 2.8.7.1 zeigt das elektrische Feld eines ruhenden Dipols. Daneben, in Abbildung 2.8.7.2, ist zum Vergleich das Feld des Dipols dargestellt, wie es sich aus Sicht eines sich mit der Geschwindigkeit $2/3\,c$ nach links bewegenden Empfängers darstellt. Die Pfeile zeigen dabei jeweils in die Richtung der Kraft. Die Stärke der Kraft wird durch die Helligkeit der Hintergrundfarbe angezeigt. An der perfekten Kreisförmigkeit der Wellenzüge fällt sofort auf, dass sich die entstehende laufende Welle unabhängig von der Relativgeschwindigkeit von Quelle und Empfänger mit Lichtgeschwindigkeit ausbreitet.

Abbildung 2.8.7.1: Das elektrische Feld eines ruhenden, in x-Richtung ausgerichteten Dipols der Frequenz $10^{15}\,Hz$ aus Sicht eines ebenfalls ruhenden Empfängers zum Zeitpunkt $t=0$. Die Kantenlänge der Zeichenfläche beträgt $2\,10^{-6}\,m $.
Abbildung 2.8.7.2: Momentaufnahme des elektrischen Feldes aus Sicht eines sich mit der Geschwindigkeit $2/3\,c$ nach links bewegenden Empfängers. Die Parameter entsprechen denen der links dargestellten Abbildung.

Weiterhin fällt auf, dass die Welle signifikante Longitudinalanteile enthält. Dem in der Maxwellschen Elektrodynamik geschulten Leser zeigt das, dass es sich bei dieser Welle noch nicht um das handelt, was man dort als eine elektromagnetische Welle bezeichnen würde. Tatsächlich ist die hier jeweils dargestellte Quantinodruckwelle nur die Primärwelle. Die eigentliche elektromagnetische Welle entsteht erst dadurch, dass durch den pulsierenden Quantinodruck überall im Raum vorhandene Photonen zum Schwingen angeregt werden. Bei diesen Photonen handelt es sich um masselose, nach außen hin neutrale Elementarteilchen, die aber, da sie in ihrem Inneren Ladungen enthalten. Dass diese Photonen keine Ruhemasse haben, obwohl sich in ihrem Innern Ladung verbirgt, wird in Abschnitt 2.5.3erklärt. An dieser Stelle ist lediglich wichtig, dass die Photonen selbst wiederum Quantinodruckwellen erzeugen, die der Primärwelle entgegenwirken. Der Mechanismus dahinter wird im nachfolgenden Abschnitt untersucht.

2.8.8 Die Entstehung der elektromagnetischen Welle

In diesem Abschnitt soll die Wechselwirkung von Quantinowellen mit in der Umgebung befindlichen Dipolen untersucht werden. Die klassische Elektrodynamik bezeichnet ein Medium, welches sich polarisieren lässt, als ein Dielektrikum. Bekannt ist bisher, dass sich normale Materie polarisieren lässt, da sie aus positiv geladenen Atomkernen und negativen Elektronenhüllen besteht, und somit zahlreiche gebundene Teilchen enthält. In der Quantinotheorie wird zusätzlich davon ausgegangen, dass sich sogar elementare Bestandteile der Materie selbst, wie z.B. Neutronen, Elektronen oder Protonen polarisieren lassen. Insbesondere wird das auch für masselose und elektrisch neutrale Teilchen wie Photonen angenommen.

Abbildung 2.8.8.1: Die Wellentypen des Hertzschen Dipols. Longitudinalwellen sind grün umrandet, Transversalwellen rot.
Die Annahme eines mit gebundenen Teilchen durchsetzten Vakuums bedeutet, dass eine sich ausbreitende, primäre Quantinodruckwelle immer auf polarisierbare Partikel trifft. Um die daraus folgenden Konsequenzen zu untersuchen, wird - wie in der Maxwellschen Elektrodynamik auch - davon ausgegangen, dass diese gebundenen Teilchen derart zahlreich sind, dass man sie als Kontinuum behandeln kann. Eine weitere, ebenfalls in der klassischen Elektrodynamik üblichen Annahme ist die, dass diese polarisierbaren, dynamischen Dipole linear auf eine äußere Kraft reagieren, d.h. dass ihre infinitesimale Auslenkung proportional zur Stärke und Richtung des einwirkenden Quantinodruckes ist. Ein Medium bei dem das zuvor genannte zumindest in guter Näherung gilt, wird als homogen und isotrop bezeichnet.

Es soll nun untersucht werden, was geschieht, wenn sich eine Quantinodruckwelle durch ein solches homogenes, isotropes Medium bewegt. Es gibt dabei grundsätzlich zwei verschiedene Arten von Wellen, nämlich Longitudinalwellen und Transversalwellen. Bei der ersten Sorte, den Longitudinalwellen, schwingt die Kraftwirkung entlang der Ausbreitungsrichtung. Bei der zweiten Sorte, den Transversalwellen, ist die Kraft quer zur Ausbreitungsrichtung ausgerichtet. Die Primärwelle enthält beide Typen, sowohl in gemischter, als auch in beinahe reiner Form. Abbildung 2.8.8.1 verdeutlicht das.

Die nachfolgenden Berechnungen zeigen, dass Transversalwellen beim Durchqueren eines Dielektrikums die Tendenz haben, sich zu verstärken, während Longitudinalwellen gedämpft werden. Beides zusammen kann als Hypothese dienen, um zu erklären, weshalb sich elektromagnetische Wellen nicht longitudinal ausbreiten und wieso der Hertzsche Dipol seine Energie in Form eines Ringes quer zur Schwingungsachse abstrahlt. In der klassischen Elektrodynamik ist dieses Verhalten bereits Teil der Maxwellgleichungen und damit axiomatischer Natur, während es in der Quantinotheorie die Folge eines umgebenden Dielektrikums darstellt.

2.8.8.1 Ebene Transversalwelle

Das Feld einer elektrischen Transversale ist mathematisch sehr leicht modellierbar. Nimmt man für die nachfolgenden Überlegungen beispielhaft an, dass sich die Welle in x-Richtung ausbreitet und in z-Richtung oszilliert, so lautet das Feld
$$\vec{E}_t(\vec{r},t) = \vec{e}_z\,\sin\left(\omega\left(t-\frac{\vec{e}_x\,\vec{r}}{c}\right)\right).$$ (2.8.8.1.1)
Wie bereits eingangs erwähnt wurde, wird angenommen, dass sich die dynamischen Dipole des Dielektrikums immer so ausrichten, dass sie das äußere Feld schwächen. Weiterhin wird angenommen, dass diese Ausrichtung hinreichend schnell genug stattfindet, also auch dann noch erfolgt, wenn das äußere Feld Frequenzen bis in den Mikrowellenbereich aufweist. Unter diesen Voraussetzungen gilt für die Auslenkung $\vec{l}_+(t)$ der positiven Teilladung eines sich am Ort $\vec{s}$ befindlichen Dipols der Zusammenhang
$$\vec{l}_+(t) \sim \vec{e}_z\,\sin\left(\omega\,\left(t-\frac{s_x}{c}\right)\right),$$ (2.8.8.1.2)
während die der negativen genau invers ist. Aufgrund der so erzwungenen sinusförmigen Schwingung wird der dynamische Dipol eine elektrische Welle $\vec{E}_d$ abstrahlen, welche sich aus Gleichung (2.8.7.10) ergibt. Für deren Feldstärke am Ort $\vec{r}$ zum Zeitpunkt $t$ gilt dann
$$\vec{E}_d(\vec{r},t) = \eta\,\vec{E}_p\left(\vec{r}-\vec{s},\vec{e}_z,t - \frac{s_x}{c}\right),$$ (2.8.8.1.3)
wobei $\eta$ eine hier nicht näher interessierende und von den Eigenschaften des Dielektrikums abhängende kleine Konstante größer Null darstellt.

Da davon ausgegangen wird, dass das umgebende Vakuum gleichmäßig mit Photonen, also dynamischen Dipolen, angefüllt ist, muss, um das Feld $\vec{E}_s$ des gesamten Dielektrikums zu erhalten, über alle $\vec{s}$ integriert werden. Da der Raum aufgrund der vorausgesetzten Homogenität überall die gleichen Eigenschaften aufweist, ist es jedoch ausreichend, das Feld $\vec{E}_s$ lediglich am Koordinatenursprung zu berechnen. Es gilt
$$\vec{E}_s(t) = \iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\vec{E}_d(\vec{0},t)\,\d{\vec{s}} = \eta\,\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\vec{E}_p\left(-\vec{s},\vec{e}_z,t - \frac{s_x}{c}\right)\,\d{\vec{s}}.$$ (2.8.8.1.4)
Durch Einsetzen der Gleichung (2.8.7.10) gelangt man zum Integral
$$\begin{split}\vec{E}_s(t) = & \frac{3\,\eta\,\omega}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,c}\,\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\vec{e}_z - 2\,(\vec{e}_z\cdot\vec{s})\frac{\vec{s}}{s^2}\right)\cdot \\ & \frac{1}{s^2}\,\cos\left(\omega\left(t + \frac{s-s_x}{c}\right)\right)\,\d{\vec{s}}\end{split}$$ (2.8.8.1.5)
welches sich durch Substitution zu
$$\begin{split}\vec{E}_s(t) = & \frac{3\,\eta\,\omega^2}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,c^2}\,\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\vec{e}_z - 2\,(\vec{e}_z\cdot\vec{s})\,\frac{\vec{s}}{s^2}\right)\cdot \\ & \frac{1}{s^2}\,\cos\left(\omega\,t + s-s_x\right)\,\d{\vec{s}}\end{split}$$ (2.8.8.1.6)
vereinfachen lässt.

Die symbolische Integration der x- und y-Komponenten ergibt jeweils Null. Die z-Komponente lässt sich hingegen nicht analytisch berechnen. Da das Integral aber nur von $\omega\,t$ abhängt und überdies periodisch sein muss, kann eine numerische Berechnung für variierendes $\omega\,t$ durchgeführt werden. Eine solche zeigt, dass offenbar eine Beziehung der Form
$$\vec{E}_s(t) \approx \eta\,\vec{e}_z\,\sin\left(\omega\,t+\frac{\pi}{6}\right)$$ (2.8.8.1.7)
existiert, wobei $\eta$ eine kleine Konstante größer Null darstellt. Addiert man dieses zum Primärfeld, so folgt
$$\vec{E}_t(\vec{0},t) + \vec{E}_s(t) \approx \vec{e}_z\,\left(\sin\left(\omega\,t\right) + \eta\,\sin\left(\omega\,t+\frac{\pi}{6}\right)\right),$$ (2.8.8.1.8)
was aufgrund von $\eta > 0$ stärker ist, als das Feld $\vec{E}_t(\vec{0},t)$ für sich allein. Die genaue Verstärkung beträgt $\sqrt{1 + \sqrt{3}\,\eta + \eta^2}$. Daraus folgt, dass Transversalwellen ein Dielektrikum hervorragend durchdringen können.

2.8.8.2 Ebene Longitudinalwelle

Das Feld einer sich in x-Richtung ausbreitenden Longitudinalwelle lautet
$$\vec{E}_l(\vec{r},t) = \vec{e}_x\,\sin\left(\omega\left(t-\frac{\vec{e}_x\,\vec{r}}{c}\right)\right).$$ (2.8.8.2.1)
Auch hier wird wieder angenommen, dass die dynamischen Dipole des Dielektrikums das äußere Feld schwächen. Daher gilt für die Auslenkung $\vec{l}_+(t)$ der positiven Teilladung eines sich am Ort $\vec{s}$ befindlichen dynamischen Dipols die Beziehung
$$\vec{l}_+(t) \sim \vec{e}_x\,\sin\left(\omega\,\left(t-\frac{s_x}{c}\right)\right).$$ (2.8.8.2.2)
Aufgrund der erzwungenen sinusförmigen Schwingung wird dieser dynamische Dipol eine elektrische Welle $\vec{E}_d$ abstrahlen, die auch hier wieder aus Gleichung (2.8.7.10) abgleitet werden kann. Es gilt
$$\vec{E}_d(\vec{r},t) = \eta\,\vec{E}_p\left(\vec{r}-\vec{s},\vec{e}_x,t - \frac{s_x}{c}\right).$$ (2.8.8.2.3)
Durch Integration über alle Dipole des Raumes folgt die Feldstärke
$$\vec{E}_s(t) = \eta\,\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\vec{E}_p\left(-\vec{s},\vec{e}_x,t - \frac{s_x}{c}\right)\,\d{\vec{s}},$$ (2.8.8.2.4)
die das Dielektrikum der Welle (am Koordinatenursprung) entgegensetzt. Durch Einsetzen der Formel (2.8.7.10) gelangt man nach Substitution zum Integral
$$\begin{split}\vec{E}_s(t) = & \frac{3\,\eta\,\omega^2}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,c^2}\,\iiint\limits_{-\infty}^{+\infty}\left(\vec{e}_x - 2\,(\vec{e}_x\cdot\vec{s})\,\frac{\vec{s}}{s^2}\right)\, \cdot \\ & \frac{1}{s^2}\,\cos\left(\omega\,t + s-s_x\right)\,\d{\vec{s}},\end{split}$$ (2.8.8.2.5)
welches nur für die y- und die z-Komponente symbolisch gelöst werden kann und dort Null ergibt. Die x-Komponente lässt sich hingegen nur numerisch auswerten. Man erhält hier eine Beziehung der Form
$$\vec{E}_s(t) \approx -\eta\vec{e}_x\,\sin\left(\omega\,t+\frac{\pi}{3}\right).$$ (2.8.8.2.6)
Addiert man dieses zur ursprünglichen Welle, so folgt
$$\vec{E}_l(\vec{0},t) + \vec{E}_s(t) \approx \vec{e}_x\,\left(\sin\left(\omega\,t\right) - \eta\,\sin\left(\omega\,t+\frac{\pi}{3}\right)\right),$$ (2.8.8.2.7)
was einer Verstärkung von $\sqrt{1 - \eta + \eta^2}$ entspricht. Da $\eta$ jedoch eine sehr kleine Konstante größer Null ist, kommt es effektiv zu einer Dämpfung. Das bedeutet, dass ein Dielektrikum - und damit auch das Vakuum - für Longitudinalwellen nur sehr schwer durchdringbar ist.