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2.2 Die elektromagnetische Kraft in der Weber-Elektrodynamik

2.2.1 Die Kraft zwischen zwei langsam gleichförmig bewegten Punktladungen

Wie schon in der Einleitung geschrieben wurde, geht die Weber-Elektrodynamik und auch die Quantinotheorie davon aus, dass nicht Raum und Zeit sondern einfach nur die elektrische Kraft relativ ist und von der Differenzgeschwindigkeit zwischen Quellladung und Zielladung abhängt. Die Quantinotheorie begründet das sogar anschaulich und zeigt, warum dass so sein muss.

Als Einstiegspunkt in die Weber-Elektrodynamik bzw. die Quantinotheorie eignet sich besonders gut die potentielle Energie zwischen zwei elektrischen Punktladungen $q_s$ und $q_d$. Diese lautet
$$V_{W} = \left(1 + \kappa_2\,\frac{\dot{r}^2}{c^2} + \kappa_4\,\frac{\dot{r}^4}{c^4}\right)\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{1}{r}.$$ (2.2.1.1)
Die Werte der Parameter lauten
$$\kappa_2 = -\frac{1}{2}\quad\mathrm{und}\quad\kappa_4 \approx \frac{7}{192}.$$ (2.2.1.2)
Bei $r$ handelt es sich um den Betrag des Abstandsvektors $\vec{r} = \vec{r}_d - \vec{r}_s$ und bei $\dot{r} = \vec{r}/r\cdot(\vec{v}_d - \vec{v}_s)$ demzufolge um die Radialgeschwindigkeit (Siehe Abbildung 2.1.1.1).

Es wird angemerkt, dass der Parameter $\kappa_4$ in der Elektrodynamik keine Rolle spielt, da der Term $\dot{r}^4/c^4$ bei nichtrelativistischen Geschwindigkeiten extrem klein ist. Wie später gezeigt werden wird, spielt er jedoch eine bedeutende Rolle bei der Erklärung der Gravitation, bei welcher es sich aus Sicht der Quantinotheorie nur um einen schwachen elektrischen Effekt vierter Ordnung handeln kann. Der Parameter $\kappa_2$ hingegen bewirkt alle magnetischen Effekte, wie schon Wilhelm Weber vor mehr als 150 Jahren richtig erkannte.

Von der potentiellen Energie gelangt man zur Kraft durch Anwendung der Formel (der Beweis findet sich in Abschnitt 4.4)
$$\vec{F} = -\dot{V}\,\frac{\vec{r}}{r\,\dot{r}},$$ (2.2.1.3)
d.h.
$$\vec{F}_{W} = \left(1 + \kappa_2\,\frac{\dot{r}^2}{c^2} - 2\,\kappa_2\,\frac{r\,\ddot{r}}{c^2} + \kappa_4\,\frac{\dot{r}^4}{c^4} - 4\,\kappa_4\,\frac{r\,\dot{r}^2\,\ddot{r}}{c^4}\right)\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{\vec{r}}{r^3}.$$ (2.2.1.4)
In der klassischen Weber-Elektrodynamik gibt es noch keine Terme vierter Ordnung, da es zu Wilhelm Webers Zeiten absolut keine Möglichkeit gab, derart kleine Effekte messtechnisch zu erfassen. Webers Originalformel aus dem Jahre 1846 lautet daher mit $\kappa_4 = 0$ und $\kappa_2 = -1/2$
$$\vec{F}_{W} = \left(1 - \frac{\dot{r}^2}{2\,c^2} + \frac{r\,\ddot{r}}{c^2}\right)\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{\vec{r}}{r^3}.$$ (2.2.1.5)
Unter Verwendung der Definitionen $\vec{v} := \dot{\vec{r}} = \vec{v}_d - \vec{v}_s$ und $\vec{a} := \ddot{\vec{r}} = \dot{\vec{v}}_d - \dot{\vec{v}}_s$ und mit Hilfe der Beziehungen
$$\dot{r} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sqrt{\vec{r}\cdot\vec{r}} = \frac{\vec{r}\cdot\dot{\vec{r}}}{r} = \frac{\vec{r}\cdot\vec{v}}{r}$$ (2.2.1.6)
und
$$\ddot{r} = \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}\sqrt{\vec{r}\cdot\vec{r}} = \frac{\vec{r}\cdot\ddot{\vec{r}}}{r} - \frac{(\vec{r}\cdot\dot{\vec{r}})^2}{r^3} + \frac{\dot{\vec{r}}\cdot\dot{\vec{r}}}{r} = \frac{\vec{r}\cdot\vec{a}}{r} - \frac{(\vec{r}\cdot\vec{v})^2}{r^3} + \frac{v^2}{r}$$ (2.2.1.7)
folgt daraus
$$\vec{F}_{W}(\vec{r},\vec{v}) \approx \zeta_W(\vec{v},\vec{r})\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{\vec{r}}{r^3}$$ (2.2.1.8)
mit
$$\zeta_W(\vec{v},\vec{r}) = 1 + \frac{v^2}{c^2} - \frac{3}{2} \left(\frac{\vec{r}}{r}\,\frac{\vec{v}}{c}\right)^2 + \frac{\vec{r}\,\vec{a}}{c^2}.$$ (2.2.1.9)
Bei fehlender Beschleunigung $\vec{a} = 0$ entspricht das der Kraftformel, wie sie in den Anfängen der Quantinotheorie verwendet wurde (Vergleiche mit Formel 2.1.1.9).

Vergleicht man die Weberkraft (2.2.1.8) mit der Maxwellkraft (2.1.1.8), so fällt auf, dass die Kraftformel der elektrischen Kraft diesmal symmetrisch ist, denn es gilt
$$\vec{F}_{W}(\vec{r}_d - \vec{r}_s,\vec{v}_d - \vec{v}_s) = -\vec{F}_{W}(\vec{r}_s - \vec{r}_d,\vec{v}_s - \vec{v}_d).$$ (2.2.1.10)
In der Quantinotheorie erfährt also eine Punktladung eine Kraft von einer anderen Punktladung die umgekehrt gleich groß ist wie die Kraft, die diese selbst auf die andere Punktladung ausübt. Es gilt demzufolge: Kraft = Gegenkraft. Dies ist die wesentliche Bedingung für die Erfüllung des Impulserhaltungssatzes.

In der maxwellschen Elektrodynamik ist die Kraft hingegen unsymmetrisch, da in der Kraftformel (2.1.1.8) der Vorfaktor $\zeta_M$ nur von der Absolutgeschwindigkeit $\vec{v}_s$ der Quelle abhängt. Somit ist hier zunächst die Impulserhaltung verletzt, sofern man nicht argumentiert, dass das elektromagnetische Feld den fehlenden Impuls trägt (Siehe auch [Timm2016], Abschnitt 4.2). Das aber ist bei magnetostatischen Bedingungen nicht sehr einleuchtend.

Abbildung 2.2.1.1: Die blauen Pfeile verdeutlichen die Richtung und die ungefähre Stärke der Kraft zwischen zwei Ladungen, wenn eine Differenzgeschwindigkeit von $\vec{v}$ besteht. Die Form der Kraft ist diesmal in jedem Intertialsystem gleich, da die Differenzgeschwindigkeit nicht von der Wahl des Bezugssystems abhängt.
Die Kraftformel der maxwellschen Elektrodynamik (2.1.1.8) hat aber noch eine weitere unangenehme Eigenschaft. Und diese besteht darin, dass die Kraft, die durch sie beschrieben wird, keine Zentralkraft darstellt. Am offensichtlichsten wird dieses Problem bei der Kraft des Stromelements (2.1.2.5), die nicht unbedingt auf die Ursache der Kraft zeigen muss und sogar orthogonal stehen kann. Etwas derartiges tritt bei der Kraftformel (2.2.1.8) der Quantinotheorie nicht auf, da der Vorfaktor $\zeta_W$ skalar und der Kreuzproduktterm der Maxwellkraft nicht vorhanden ist. Das bedeutet, dass es sich bei der Gleichung (2.2.1.8) um eine Formel handelt, die immer eine Zentralkraft beschreibt. Somit ist bereits klar, dass auch die Drehimpulserhaltung gelten muss.

Das Feld der Kraft entspricht dem, dass in Abbildung 2.1.1.2.1 und auch noch mal in Abbildung 2.2.1.1 gezeigt ist. Der Unterschied ist jedoch der, dass das Feld hier auch seine Form beibehält, wenn sich der Beobachter gegenüber den Ladungen gleichförmig bewegt, die Situation also aus einem anderen Inertialsystem betrachtet.

Die wichtigste Eigenschaft der Formel (2.2.1.8) besteht aber darin, dass es mit ihr möglich ist, die magnetische Kraft herzuleiten. Das ist insofern nicht selbstverständlich, da es sich - wie erwähnt - bei der Kraft (2.2.1.8) um eine Zentralkraft handelt und die magnetische Kraft beispielsweise auch parallel zu einem stromdurchflossenen Leiter ausgerichtet sein kann. Dass es trotzdem möglich ist, wird im Abschnitt 2.2.2 bewiesen. Ein ähnlicher Beweis, der sogar für asymmetrische Ströme Gültigkeit besitzt, findet sich im Übrigen schon in einer deutlich älteren Arbeit [Assis1990].

Es sei erwähnt, dass es möglich ist, Gedankenexperimente zu konstruieren, bei denen die Maxwellsche Theorie zu Widersprüchen führt. Warum das so ist wird sehr schön in [Anonymous2018] aufgezeigt. Der Autor dieser sehr lesenswerten Arbeit vertritt genau wie der Autor dieser Arbeit die Meinung, dass der Fehler der Maxwellgleichungen darin besteht, dass die elektrischen Feldstärken in den unterschiedlichen Maxwellgleichungen unterschiedliche physikalische Bedeutungen besitzen.

In der ersten Maxwellgleichung (Gaußsches Gesetz), muss nämlich die Messladung unbedingt ruhen. In den anderen Maxwellgleichungen hingegen nicht. In [Anonymous2018] wird gezeigt, wie die Maxwellgleichungen zu korrigieren wären und welche Änderungen sich ergeben. Als Fazit folgt, dass vieles gleich bliebe, insbesondere was die wichtigen und experimentell bestätigten Aussagen zu den elektromagnetischen Wellen betrifft. Auf der anderen Seite verschwinden aber auch die Widersprüche der Elektro- und Magnetostatik und die korrigierten Maxwell-Gleichungen liefern dann im Grenzfall langsamer Geschwindigkeiten die galilei-invariante Weber-Elektrodynamik.

2.2.2 Die Kraft eines Stromelementes auf eine langsam bewegte elektrische Punktladung

Wie schon zuvor in Abschnitt 2.1.2, lässt sich auch in der Quantinotheorie ein Stromelement aus zwei entgegengesetzt geladenen und gegensätzlich bewegten Punktladungen an der gleichen Stelle konstruieren. Wir stellen uns also eine Ladung $q_s$ vor, die sich mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_s/2$ bewegt, während sich eine zweite gleichgroße negative Ladung $-q_s$ am gleichen Ort mit der Geschwindigkeit $-\vec{v}_s/2$ bewegt. Die Kraft $F_{WC}$ dieser beiden Ladungen auf eine Probeladung $q_d$ mit der Geschwindigkeit $\vec{v}_d$ lautet wegen Gleichung (2.2.1.8)
$$\begin{split}\vec{F}_{WC} = & \zeta_W\left(\frac{\vec{v}_s}{2}-\vec{v}_d,\vec{r}\right)\,\frac{(+q_s)\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r^3}\,\vec{r} + \\ & \zeta_W\left(-\frac{\vec{v}_s}{2}-\vec{v}_d,\vec{r}\right)\,\frac{(-q_s)\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r^3}\,\vec{r}.\end{split}$$ (2.2.2.1)
Dies lässt sich zu
$$\vec{F}_{WC} = \left[\zeta_W\left(\frac{\vec{v}_s}{2}-\vec{v}_d,\vec{r}\right) - \zeta_W\left(\frac{\vec{v}_s}{2}+\vec{v}_d,\vec{r}\right)\right]\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0\,r^3}\,\vec{r}$$ (2.2.2.2)
zusammenfassen, wobei die Beziehung $\zeta_W(\vec{w},\vec{r}) = \zeta_W(-\vec{w},\vec{r})$ benutzt wurde. Als nächstes verwenden wir die Definition (2.2.1.9) und erhalten
$$\begin{split} & \left[\zeta_W\left(\frac{\vec{v}_s}{2}-\vec{v}_d,\vec{r}\right) - \zeta_W\left(\frac{\vec{v}_s}{2}+\vec{v}_d,\vec{r}\right)\right] = \\ & \quad \frac{3\,\left(\vec{r}\,\vec{v}_s\right)\left(\vec{r}\,\vec{v}_d\right)-2\,r^2\,\vec{v}_s\,\vec{v}_d}{r^2\,c^2},\end{split}$$ (2.2.2.3)
was in Gleichung (2.2.2.2) eingesetzt zusammen mit der Beziehung $\varepsilon_0\,c^2 = 1/\mu_0$ zu
$$\vec{F}_{WC}(\vec{r},\vec{v}_s,\vec{v}_d,q_s,q_d) = \left(3\,\left(\frac{\vec{r}}{r}\,\vec{v}_s\right)\left(\frac{\vec{r}}{r}\,\vec{v}_d\right)-2\,\vec{v}_s\,\vec{v}_d\right)\,\frac{\mu_0\,q_s\,q_d}{4\,\pi}\,\frac{\vec{r}}{r^3}$$ (2.2.2.4)
führt. Die Abbildung 2.2.2.1 zeigt, dass sich die Kraft des Stromelementes in der Quantinotheorie fundamental von der Kraft des Stromelementes in der klassischen Elektrodynamik (siehe Abbildung 2.1.2.2) unterscheidet.
Abbildung 2.2.2.1: Die blauen Pfeile zeigen die Richtung und die ungefähre Stärke der Kraft die eine Probeladung durch ein Stromelement am Koordinatenursprung erfahren würde, wenn sie sich an der jeweiligen Stelle befände. Auf der linken Seite bewegt sich die Probeladung nach oben, auf der rechten Seite nach rechts. Man erkennt, dass es sich um eine Zentralkraft handelt. Die magnetische Kraft, welche durch einen ganzen Stromfaden entstünde, ist noch nicht vorhanden.

2.2.3 Das Feld eines langen geraden Leiters in der Quantinotheorie

Ein Leser mit einem gut entwickelten geometrischen Vorstellungsvermögen erkennt es vermutlich bereits beim Betrachten der Abbildung 2.2.2.1, dass sich durch die Aneinanderreihung vieler Stromelemente auf der x-Achse die Einzelfelder so überlagern, dass am Ende die magnetische Kraft entsteht. In der Tat ergeben bereits drei Stromelemente - wie Abbildung 2.2.3.1 zeigt - eine recht gute Approximation der magnetischen Kraft.

Abbildung 2.2.3.1: Die Überlagerung der Felder von nur drei Stromelementen ergibt bereits eine gute Approximation der magnetischen Kraft.
Man kann das nicht nur plausibel machen, sondern auch mathematisch beweisen. Der einfachste Modellfall ist der sogenannte unendlich lange, gerade Leiter. Praktisch handelt es sich dabei um das Feld, dass von einem hinreichend langen, stromdurchflossenen geraden Draht erzeugt wird. Man erhält es, indem man über alle Stromelemente integriert:
$$\vec{F}_{WCT}(\vec{r}) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \vec{F}_{WC}(\vec{r}-\vec{s},\vec{v}_s,\vec{v}_d,\lambda,q_d)\,\mathrm{d}\vec{s}.$$ (2.2.3.1)
Dabei ist $\lambda$ die bewegte Ladungsmenge pro Längeneinheit. Es ist anschaulich klar, dass eine Verdopplung der Anzahl dieser Stromelemente zu einer Verdopplung des Stroms führt. Der Strom $I$ ist demzufolge proportional zu $\lambda$. Weiterhin ist er proportional zur Geschwindigkeit $u$, also der Differenzgeschwindigkeit der Ladungen im Stromelement. Verdoppelt sich diese Geschwindigkeit, so verdoppelt sich auch die Menge an Ladung, die pro Zeiteinheit durch eine Querschnittsfläche quer zur Bewegungsrichtung der Ladungsträger tritt. Der Strom ist somit durch
$$\vec{I} = \lambda\,\vec{v}_s$$ (2.2.3.2)
definierbar.

Ohne Einschränkung der Allgemeinheit ist es möglich den Strom nur die x-Achse entlang fließen zu lassen. Damit folgt $\vec{v}_s=(v_{sx},0,0)$ und $\vec{s}=(s_x,0,0)$. Des Weiteren ist es sinnvoll, die Probeladung $q_d$ auf die z-Achse zu legen. Damit ist $\vec{r} = (0,0,r_z)$. Setzt man das in die Formel (2.2.2.4) ein, so folgt
$$\begin{split} & \vec{F}_{WC}(\vec{r}-\vec{s},\vec{v}_s,\vec{v}_d,\lambda,q_d) = \\ & \quad \frac{\lambda\,q_d\,\mu_0}{4\,\pi}\,\frac{\left(2\,r_z^2\,v_{dx} - s_x^2\,v_{dx} + 3\,r_z\,s_x\,v_{dz}\right)\, v_{sx}}{\sqrt{s_x^2 + r_z^2}^5}\,\left(\begin{matrix}s_x \\ 0 \\ -r_z\end{matrix}\right).\end{split}$$ (2.2.3.3)
Das lässt sich bequem in das Integral einsetzen und man erhält
$$\begin{split} & \vec{F}_{WCT}(\vec{r}) = \\ & \quad \frac{\lambda\,q_d\,\mu_0}{4\,\pi}\, \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \frac{\left(2\,r_z^2\,v_{dx} - s_x^2\,v_{dx} + 3\,r_z\,s_x\,v_{dz}\right)\, v_{sx}}{\sqrt{s_x^2 + r_z^2}^5}\,\left(\begin{matrix}s_x \\ 0 \\ -r_z\end{matrix}\right) \mathrm{d}s_x.\end{split}$$ (2.2.3.4)
Die Ausführung der Integration ergibt
$$\vec{F}_{WCT}(\vec{r}) = \frac{q_d\,\mu_0\,I}{2\,\pi\,r_z}\,\left(\begin{matrix}v_{dz} \\ 0 \\ -v_{dx}\end{matrix}\right),$$ (2.2.3.5)
wobei für den Strom $I$ die Formel (2.2.3.2) verwendet wurde. Das gleiche Ergebnis würde man erhalten, wenn man konventionell mit Hilfe des Biot-Savart-Gesetzes und unter Verwendung der Lorentzkraftformel rechnen würde.

2.2.4 Das Feld beliebiger Leiterschleifen in der Quantinotheorie

Abbildung 2.2.4.1: Leiterschleife
Es ist nicht nur möglich zu zeigen, dass das Feld eines unendlich langen Drahtes mit den experimentell zu erwartenden Ergebnissen übereinstimmt, sondern es kann auch bewiesen werden, dass jede beliebige geschlossene Leiterschleife das bekannte Magnetfeld erzeugt. Zu diesem Zweck wird an dieser Stelle untersucht, welche Kraft ein Strom $I$ in einer kleinen rechteckigen Leiterschleife, wie sie in Abbildung 2.2.4.1 dargestellt ist, auf eine Probeladung $q_d$ bewirkt.

Der gesamte Strom in ihr besteht aus vier Teilströmen. Das bedeutet, dass diesmal viermal zu integrieren ist. Die gesamte Kraft berechnet sich daher durch
$$ \begin{split} \vec{F}_{WCT}(\vec{r}) = & \int\limits_{-L}^{+L}\,\vec{F}_{WC}(\vec{r} - (x \,\vec{e}_x + L \,\vec{e}_y), v_s\,\vec{e}_x,\vec{v}_d,\lambda,q_d)\,\mathrm{d}x + \\ & \int\limits_{-L}^{+L}\,\vec{F}_{WC}(\vec{r} - (L \,\vec{e}_x - y \,\vec{e}_y), -v_s\,\vec{e}_y, \vec{v}_d,\lambda,q_d)\,\mathrm{d}y + \\ & \int\limits_{-L}^{+L}\,\vec{F}_{WC}(\vec{r} - (-x \,\vec{e}_x - L \,\vec{e}_y), -v_s\,\vec{e}_x,\vec{v}_d, \lambda,q_d)\,\mathrm{d}x + \\ & \int\limits_{-L}^{+L}\,\vec{F}_{WC}(\vec{r} - (-L \,\vec{e}_x + y \,\vec{e}_y), v_s\,\vec{e}_y, \vec{v}_d,\lambda,q_d)\,\mathrm{d}y. \end{split}$$ (2.2.4.1)
Dieses Integral lässt sich für ein $L$, welches nicht sehr klein ist, nur sehr aufwendig lösen. Die Berechnung kann jedoch stark vereinfacht werden, indem man den Ausdruck $\int_{-L}^{+L} f(x,L)\,\mathrm{d}x$ bezüglich $L$ an der Stelle $0$ in eine Taylorreihe entwickelt und diese nach dem Glied zweiter Ordnung abbricht. Es folgt die Beziehung
$$\int\limits_{-L}^{+L} f(x,L)\,\mathrm{d}x \approx 2\,L\,f(0,0) + 2\,L^2\,\left.\frac{\partial}{\partial L}f(0,L)\right|_{L=0}.$$ (2.2.4.2)
Mit Hilfe der Gleichung (2.2.4.2) lässt sich das Integral (2.2.4.1) erheblich vereinfachen und es folgt unter Verwendung der Beziehungen
$$\vec{F}_{WC}(\vec{r}, v_s\,\vec{e}_x,\vec{v}_d, \lambda,q_d) = -\vec{F}_{WC}(\vec{r}, -v_s\,\vec{e}_x, \vec{v}_d, \lambda,q_d)$$ (2.2.4.3)
und
$$\vec{F}_{WC}(\vec{r}, v_s\,\vec{e}_y,\vec{v}_d, \lambda,q_d) = -\vec{F}_{WC}(\vec{r}, -v_s\,\vec{e}_y,\vec{v}_d, \lambda,q_d)$$ (2.2.4.4)
die Gleichung
$$ \begin{split} \vec{F}_{WCT}(\vec{r}) = & \left.2\,L^2\,\frac{\partial}{\partial L}\vec{F}_{WC}(\vec{r} - L \,\vec{e}_y, v_s\,\vec{e}_x,\vec{v}_d, \lambda,q_d)\right|_{L=0} + \\ & \left.2\,L^2\,\frac{\partial}{\partial L}\vec{F}_{WC}(\vec{r} - L \,\vec{e}_x , -v_s\,\vec{e}_y,\vec{v}_d, \lambda,q_d)\right|_{L=0} + \\ & \left.2\,L^2\,\frac{\partial}{\partial L}\vec{F}_{WC}(\vec{r} + L \,\vec{e}_y, -v_s\,\vec{e}_x,\vec{v}_d, \lambda,q_d)\right|_{L=0} + \\ & \left.2\,L^2\,\frac{\partial}{\partial L}\vec{F}_{WC}(\vec{r} + L \,\vec{e}_x, v_s\,\vec{e}_y,\vec{v}_d, \lambda,q_d)\right|_{L=0}. \end{split} $$ (2.2.4.5)
In die Gleichung (2.2.4.5) wird nun die Formel für das Stromelement (2.2.2.4) eingesetzt. Die Berechnung ergibt
$$\vec{F}_{WCT}(\vec{r}) = \frac{L^2\,\lambda\,q_d\,\mu_0\,v_s}{\pi}\,\left(\vec{v}_d \times \frac{\vec{e}_z\,r^2 - 3\,\vec{r}\,(\vec{e}_z\,\vec{r})}{r^5} \right).$$ (2.2.4.6)
Der Ausdruck $\lambda\,v_s$ entspricht auch hier wieder dem Strom $I$ in der Leiterschleife. Definiert man nun noch, wie allgemein üblich, das magnetische Dipolmoment als Produkt aus Strom und Flächenelement $\vec{\mu} = I\,(2\,L)^2\,(-\vec{e}_z)$, dann folgt
$$\vec{F}_{WCT}(\vec{r}) = q_d\,\left(\vec{v}_d \times \frac{\mu_0}{4\,\pi}\,\frac{3\,\vec{r}\,(\vec{\mu}\,\vec{r}) - \vec{\mu}\,r^2}{r^5}\right).$$ (2.2.4.7)
Der Term
$$\vec{B}(\vec{r}) = \frac{\mu_0}{4\,\pi}\,\frac{3\,\vec{r}\,(\vec{\mu}\,\vec{r}) - \vec{\mu}\,r^2}{r^5}$$ (2.2.4.8)
ist dabei bekanntermaßen die magnetische Flussdichte des magnetischen Dipols, d.h. es gilt
$$\vec{F}_{WCT}(\vec{r}) = q_d\,\left(\vec{v}_d \times \vec{B}\right).$$ (2.2.4.9)
Das ist wiederum klar als Lorentzkraft erkennbar. Das Ergebnis entspricht also exakt dem, welches man auch in der maxwellschen Elektrodynamik erhalten würde.

Abbildung 2.2.4.2: Beliebige Leiterschleifen lassen sich durch unendlich viele unendlich kleine Leiterschleifen zusammensetzen, da sich alle Ströme bis auf die in der äußeren Umrandung kompensieren.
Da sich aus vielen solcher Leiterschleifen (Abbildung 2.2.4.2) bekanntlich jede beliebig geformte Leiterschleife zusammensetzen lässt, bedeutet das, dass die Quantinotheorie an dieser Stelle mit den Vorhersagen der maxwellschen Elektro- und Magnetostatik übereinstimmt. Insbesondere gelten daher auch die beiden Maxwellgleichungen dieses Spezialfalls. Die erste Gleichung
$$\nabla\vec{B} = 0$$ (2.2.4.10)
besagt, dass die magnetische Induktion $\vec{B}$ keine Quellen besitzt, d.h. ihre Feldlinien sind immer in sich geschlossen und es gibt nirgendwo Orte im Raum, wo sie beginnen oder enden. Mit anderen Worten, so etwas wie magnetische Monopole gibt es nicht. Stattdessen entsteht das Magnetfeld erst durch die Anwesenheit eines geschlossenen Strompfades. Die zweite Maxwellgleichung
$$\nabla\times\vec{B} = \mu_0\,\vec{j}$$ (2.2.4.11)
beschreibt genau das, indem sie die magnetische Induktion $\vec{B}$ mit der Stromdichte $\vec{j}$ verbindet.