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4.2 Die Intervallfunktion

Definition

Die Intervallfunktion ist durch
$$\intfunc_a^b(x) \; := \left\{\begin{array}{rl} 1, & a \leq x < b \\ -1, & b \leq x < a \\ 0, & \mbox{sonst} \end{array}\right.$$ (4.2.1.1)
definiert [Kuehn2010]. Sie eignet sich hervorragend zur kompakten Darstellung stückweise definierter Funktionen, wie z.B. Splines. Auch für das Rechnen mit Dirac-Funktionen ist sie recht hilfreich, da die Ausblendeigenschaft formal nur für die Integrationsgrenzen von Minus- bis Plus-Unendlich definiert ist. Die Intervallfunktion ermöglicht ein Herausziehen andersartiger Integrationsgrenzen und damit eine formale Lösung von Ausdrücken der Form $\int_{a}^{b} f(x) \delta(x-y)\,\d{y}$ denn es gilt:
$$\int\limits_{a}^{b} f(x) \delta(x-y)\,\d{y} = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \intfunc_a^b(x)\,f(x)\,\delta(x-y)\,\d{y} = \intfunc_a^b(y)\,f(y)$$ (4.2.1.2)

Eigenschaften

$$\intfunc_a^b(x) = -\intfunc_b^a(x)$$ (4.2.2.1)
Für beliebige reelle Zahlen $c \neq 0$ gilt
$$\intfunc_a^b(x)^c = \intfunc_a^b(x)$$ (4.2.2.2)
$$\sgn(x) = 2\,\intfunc_0^{\infty}(x)-1$$ (4.2.2.3)

Alternative Definitionen

Ein alternative Definition der Intervallfunktion ist
$$\intfunc_a^b(x) := \Theta(x-a) - \Theta(x-b)$$ (4.2.3.1)
wobei $\Theta(x)$ die Heaviside-Funktion ist.

Man kann die Intervallfunktion auch durch eine stetige Funktion approximieren:
$$\intfunc_a^b(x) \approx e^{-\left(\frac{a + b - 2\,x}{a - b}\right)^{2\,s}}$$ (4.2.3.2)
Für eine große natürliche Zahl $s$ entspricht diese Näherung sehr gut der Intervallfunktion.