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4.3 Einschlagsgeschwindigkeit

Angenommen, ein bewegtes Objekt wird zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ von einem anderen Objekt getroffen. Die Einschlagsgeschwindigkeit beider Objekte beträgt dann gegenseitig
$$u = \left\Vert\dot{\vec{r}}_1(t) - \dot{\vec{r}}_2(t)\right\Vert,$$ (4.3.1)
Dabei ist $\dot{\vec{r}}_1(t)$ und $\dot{\vec{r}}_2(t)$ die jeweilige Momentangeschwindigkeit eines Objektes zum Zeitpunkt $t$. Für jeden beliebigen Zeitpunkt $\tau < t$ gilt deshalb auch
$$u = \frac{\left\Vert\left(\dot{\vec{r}}_1(t) - \dot{\vec{r}}_2(t)\right)(t-\tau)\right\Vert}{t-\tau}.$$ (4.3.2)

Da beide Objekte zum Zeitpunkt $t$ zusammenstoßen gilt natürlich $\vec{r}_1(t) = \vec{r}_2(t)$ oder anders ausgedrückt
$$\vec{r}_1(t) - \vec{r}_2(t) = 0.$$ (4.3.3)
Aus diesem Grund lässt sich Formel (4.3.2) zu
$$u = \frac{\left\Vert\left(\vec{r}_1(t) - \vec{r}_2(t)\right) - \left(\dot{\vec{r}}_1(t) - \dot{\vec{r}}_2(t)\right)(t-\tau)\right\Vert}{t-\tau}.$$ (4.3.4)
erweitern. Das kann man wiederum zu
$$u = \frac{\left\Vert\left(\vec{r}_1(t) - \dot{\vec{r}}_1(t)(t-\tau)\right) - \left(\vec{r}_2(t) -\dot{\vec{r}}_2(t)(t-\tau)\right)\right\Vert}{t-\tau}$$ (4.3.5)
umformen.

Wenn sich nun das zweite Objekt immer mit konstanter Geschwindigkeit $\dot{\vec{r}}_2(t) = \vec{w}$ bewegt, so gilt
$$\vec{r}_2(t) = \vec{r}_2(\tau) + \dot{\vec{r}}_2(t) (t-\tau) = \vec{r}_2(\tau) + \vec{w} (t-\tau),$$ (4.3.6)
d.h.
$$\vec{r}_2(t) - \dot{\vec{r}}_2(t) (t-\tau) = \vec{r}_2(\tau).$$ (4.3.7)
Wenn man das in Formel (4.3.5) einsetzt erhält man
$$u = \frac{\left\Vert\vec{r}_1(t) - \dot{\vec{r}}_1(t)(t-\tau) - \vec{r}_2(\tau)\right\Vert}{t-\tau}.$$ (4.3.8)
Da $t - \tau$ immer größer Null ist, kann man die Betragsbildung auch auf den Term unter dem Bruchstrich ausdehnen und anschließend kürzen. Dadurch folgt
$$u = \left\Vert\frac{\vec{r}_1(t) - \vec{r}_2(\tau)}{t-\tau} - \dot{\vec{r}}_1(t)\right\Vert$$ (4.3.9)
was genau dem entspricht, was zu zeigen war.