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4.4 Kraft und verallgemeinertes Potential

Es soll bewiesen werden, dass für jede Kraft $\vec{F}$, für welche die Energieerhaltung gilt, die Gleichung
$$\vec{F} = -\dot{V}\,\frac{\vec{r}}{r\,\dot{r}}$$ (4.4.1)
erfüllt ist. Bei $V$ handelt es sich um die zugehörige potentielle Energie und bei $r = \sqrt{\vec{r}\cdot\vec{r}}$ um den Abstand zwischen Quelle und Ziel.

Bevor wir beginnen, benötigen wir einen Zwischenschritt. Für einen beliebigen zeitveränderlichen Vektor $\vec{a}$ berechnen wir
$$\dot{a} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}} = \frac{2\,\vec{a}\cdot\dot{\vec{a}}}{2\,\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}} = \frac{\vec{a}\cdot\dot{\vec{a}}}{a}$$ (4.4.2)
Anschließend multiplizieren wir beide Seiten mit $a$ und gelangen zu
$$\vec{a}\cdot\dot{\vec{a}} = a\,\dot{a}.$$ (4.4.3)
Damit lässt sich nun die Formel (4.4.1) beweisen. Dazu multiplizieren wir zunächst beide Seiten mit $\dot{\vec{r}}$. Es folgt
$$\vec{F}\cdot\dot{\vec{r}} = -\dot{V}\,\frac{\vec{r}\cdot\dot{\vec{r}}}{r\,\dot{r}}.$$ (4.4.4)
Wegen Gleichung (4.4.3) gilt $\vec{r}\cdot\dot{\vec{r}} = r\,\dot{r}$. Damit vereinfacht sich Gleichung (4.4.4) zu
$$\vec{F}\cdot\dot{\vec{r}} = -\dot{V}.$$ (4.4.5)
Nun setzen wir für $\vec{F}$ die Grundgleichung der Mechanik $\vec{F} = m\,\ddot{\vec{r}}$ ein und gelangen so zu
$$m\,\ddot{\vec{r}}\cdot\dot{\vec{r}} = -\dot{V}.$$ (4.4.6)
Wegen Gleichung (4.4.3) gilt weiterhin $\dot{\vec{r}}\cdot\ddot{\vec{r}} = \dot{r}\,\ddot{r}$. Das eingesetzt ergibt
$$m\,\ddot{r}\cdot\dot{r} = -\dot{V}.$$ (4.4.7)
Links steht nun die Ableitung $\dot{T}$ der kinetischen Energie
$$T = \frac{1}{2}\,m\,\dot{r}^2,$$ (4.4.8)
d.h. wir sind zu
$$\dot{T} = -\dot{V}$$ (4.4.9)
gelangt. Das aber entspricht dem Energieerhaltungssatz $T + V = const$, also einer wahren Aussage, womit die Formel (4.4.1) bewiesen ist.