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2.4 Beweis der Erhaltungssätze in der Weber-Elektrodynamik

2.4.1 Impulserhaltung im Teilchensystem

In Weber-Elektrodynamik ist die elektrische Kraft (2.2.1.5) welche eine Ladung $q_i$ auf eine Ladung $q_j$ ausübt umgekehrt gleich groß der Kraft, welche die Ladung $q_j$ auf die Ladung $q_i$ ausübt. Es gilt daher
$$\vec{F}_{ij} = -\vec{F}_{ji}.$$ (2.4.1.1)
Für ein abgeschlossenes System aus insgesamt $n$ Punktladungen gilt für die zeitliche Änderung des Impulses $\vec{p}_i$ der $i$-ten Punktladung die Beziehung
$$\dot{\vec{p}}_i = \sum\limits_{j=1}^{n} \vec{F}_{ji},$$ (2.4.1.2)
sofern man definiert, dass $\vec{F}_{ii} := 0$ ist. Die Änderung des Gesamtimpulses des Systems ist dann die Summe aller Einzelimpulsänderungen. Hier gilt
$$\dot{\vec{p}} = \sum_{i=1}^{n} \dot{\vec{p}}_i = \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} \vec{F}_{ji}.$$ (2.4.1.3)
Wegen Eigenschaft (2.4.1.1) gilt aber auch
$$\dot{\vec{p}} = -\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} \vec{F}_{ij} = -\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n} \vec{F}_{ij} = -\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} \vec{F}_{ji}.$$ (2.4.1.4)
Aus den Gleichungen (2.4.1.3) und (2.4.1.4) folgt demzufolge
$$\dot{\vec{p}} = \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} \vec{F}_{ji} = -\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n} \vec{F}_{ji}.$$ (2.4.1.5)
Diese Gleichung kann aber nur erfüllt sein, wenn die Summen Null sind. Demzufolge gilt für die Änderung des Gesamtimpulses
$$\dot{\vec{p}} = 0.$$ (2.4.1.6)
Der Gesamtimpuls des Systems ändert sich also nicht im Verlauf der Zeit und ist somit eine Erhaltungsgröße.

2.4.2 Drehimpulserhaltung im Teilchensystem

Der Gesamtdrehimpuls eines Systems aus $n$ Punktladungen ist definiert durch
$$\vec{L} := \sum\limits_{i=1}^{n} \vec{r}_i \times \vec{p}_i.$$ (2.4.2.1)
Die Ableitung nach der Zeit ergibt
$$\dot{\vec{L}} = \sum\limits_{i=1}^{n} \dot{\vec{r}}_i \times \vec{p}_i + \sum\limits_{i=1}^{n} \vec{r}_i \times \dot{\vec{p}}_i.$$ (2.4.2.2)
Da der Impuls $\vec{p}_i$ immer parallel zur Geschwindigkeit $\dot{\vec{r}}_i$ ist, folgt $\dot{\vec{r}}_i \times \vec{p}_i = 0$. Damit wird Gleichung (2.4.2.2) zu
$$\dot{\vec{L}} = \sum\limits_{i=1}^{n} \vec{r}_i \times \dot{\vec{p}}_i.$$ (2.4.2.3)
Durch Einsetzen der Gleichung (2.4.1.2) erhält man
$$\dot{\vec{L}} = \sum\limits_{i=1}^{n} \vec{r}_i \times \sum\limits_{j=1}^{n} \vec{F}_{ji} = \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \vec{r}_i \times \vec{F}_{ji}.$$ (2.4.2.4)
Dieses lässt sich weiter umschreiben zu
$$\begin{split}\dot{\vec{L}} & = \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \vec{r}_i \times \vec{F}_{ji} + \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \vec{r}_i \times \vec{F}_{ji} \\ & = \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \vec{r}_i \times \vec{F}_{ji} + \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \vec{r}_j \times \vec{F}_{ij}.\end{split}$$ (2.4.2.5)
Wegen $\vec{F}_{ij} = -\vec{F}_{ji}$ folgt daraus
$$\dot{\vec{L}} = \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \vec{r}_i \times \vec{F}_{ji} - \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} \vec{r}_j \times \vec{F}_{ji},$$ (2.4.2.6)
d.h. es gilt
$$\dot{\vec{L}} = \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} (\vec{r}_i - \vec{r}_j) \times \vec{F}_{ji}.$$ (2.4.2.7)
Da aber der Vektor $\vec{r}_i - \vec{r}_j$ parallel zu $\vec{F}_{ji}$ ist verschwindet das Kreuzprodukt und es folgt
$$\dot{\vec{L}} = 0.$$ (2.4.2.8)
Der Gesamtdrehimpuls eines abgeschlossenen Systems ist demzufolge eine Erhaltungsgröße.

2.4.3 Energieerhaltung

Die Kraft, welche durch Formel (2.2.1.4) gegeben ist, hängt nicht nur vom Abstandsvektor der Punktladungen $\vec{r}$ zueinander, sondern auch von der Radialgeschwindigkeit $\dot{r}$, als auch von der Radialbeschleunigung $\ddot{r}$ ab. Des Weiteren ist die Kraft zwar eine Zentralkraft, jedoch nicht radialsymmetrisch und damit auch nicht wirbelfrei. Aus diesen Gründen repräsentiert die konservative Kraft (2.2.1.4) keine konservative Kraft im herkömmlichen Sinne, denn es ist nicht möglich, ein Potential zu finden, mit dem sich die Kraft durch Gradientenbildung bestimmen ließe.

Trotzdem ist für diese Kraft die Energieerhaltung erfüllt. Die potentielle Energie ist durch die Formel (2.2.1.1) gegeben. Sie lautet
$$V = \left(1 + \kappa_2\,\frac{\dot{r}^2}{c^2} + \kappa_4\,\frac{\dot{r}^4}{c^4}\right)\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{1}{r}.$$ (2.4.3.1)
Um zu zeigen, dass es sich hierbei tatsächlich um die potentielle Energie der Kraft (2.2.1.5) handelt, wird zunächst die potentielle Energie $V$ nach der Zeit $t$ abgleitet. Das Ergebnis ist
$$\dot{V} = -\left(1 + \kappa_2\,\frac{\dot{r}^2}{c^2} - 2\,\kappa_2\,\frac{r\,\ddot{r}}{c^2} + \kappa_4\,\frac{\dot{r}^4}{c^4} - 4\,\kappa_4\,\frac{r\,\dot{r}^2\,\ddot{r}}{c^4}\right)\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{\dot{r}}{r^2}.$$ (2.4.3.2)
Im nächsten Schritt wird das Skalarprodukt der Kraft (2.2.1.4) mit der Radialgeschwindigkeit $\dot{\vec{r}}$ gebildet. Es folgt
$$\vec{F} = \left(1 + \kappa_2\,\frac{\dot{r}^2}{c^2} - 2\,\kappa_2\,\frac{r\,\ddot{r}}{c^2} + \kappa_4\,\frac{\dot{r}^4}{c^4} - 4\,\kappa_4\,\frac{r\,\dot{r}^2\,\ddot{r}}{c^4}\right)\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{\vec{r}\cdot\dot{\vec{r}}}{r^3}.$$ (2.4.3.3)
Dieses lässt sich aufgrund der Beziehung $\vec{r}\cdot\dot{\vec{r}} = r\,\dot{r}$ (Siehe Abschnitt 4.4) weiter zu
$$\vec{F} = \left(1 + \kappa_2\,\frac{\dot{r}^2}{c^2} - 2\,\kappa_2\,\frac{r\,\ddot{r}}{c^2} + \kappa_4\,\frac{\dot{r}^4}{c^4} - 4\,\kappa_4\,\frac{r\,\dot{r}^2\,\ddot{r}}{c^4}\right)\,\frac{q_s\,q_d}{4\,\pi\,\varepsilon_0}\,\frac{\dot{r}}{r^2}$$ (2.4.3.4)
umformen.

Ein Vergleich der Gleichungen (2.4.3.2) und (2.4.3.4) zeigt, dass
$$\dot{V} = -\vec{F}\cdot\dot{\vec{r}}$$ (2.4.3.5)
gilt. Damit ist die Energieerhaltung im Prinzip bereits bewiesen, denn durch Einsetzen der Grundgleichung der Mechanik $\vec{F} = m_d\,\ddot{\vec{r}}$ folgt
$$\dot{V} = -m_d\,\ddot{\vec{r}}\,\dot{\vec{r}} = -\dot{T}$$ (2.4.3.6)
mit der kinetischen Energie
$$T = \frac{1}{2}\,m_d\,\dot{\vec{r}}\,\dot{\vec{r}} = \frac{1}{2}\,m_d\,\dot{r}^2.$$ (2.4.3.7)
Aus Gleichung (2.4.3.6) folgt dann weiter
$$\dot{V} + \dot{T} = 0.$$ (2.4.3.8)
Da die Gesamtenergie $\mathcal{E}$ definiert ist als die Summe aus potentieller Energie $V$ und kinetischer Energie $T$ gilt
$$\dot{\mathcal{E}} = \dot{V} + \dot{T} = 0.$$ (2.4.3.9)
Das bedeutet, dass die zeitliche Änderung der Gesamtenergie Null ist. Sie ist demzufolge für die Weberkraft (2.2.1.4) eine Erhaltungsgröße.

2.4.4 Energieerhaltung im Teilchensystem

Aus der Gründen der Vollständigkeit wird hier noch ein Beweis der Energieerhaltung für ein n-Teilchensystem geliefert, welcher für konservative Kräfte, aber insbesondere auch für die Weberkraft (2.2.1.4) sowie für jede andere Kraftformel die das dritte newtonsche Axiom erfüllt gilt.

Gegeben seien $n$ Teilchen die untereinander wechselwirken. Äußere Kräfte seien nicht vorhanden. Die $n$ Bewegungsgleichungen lauten für $k=1,\ldots,n$
$$\sum\limits_{i=1}^{n}\vec{F}_{ik} = m_k\,\ddot{\vec{r}}_k.$$ (2.4.4.1)
Die Kraft des i-ten Teilchens auf sich selbst $\vec{F}_{ii}$ wurde hierbei zu Null definiert, um bei der Summation keine Ausnahmen behandeln zu müssen. Die Multiplikation mit jeweils $\dot{\vec{r}}_k$ ergibt
$$\sum\limits_{i=1}^{n}\vec{F}_{ik}\,\dot{\vec{r}}_k = m_k\,\ddot{\vec{r}}_k\,\dot{\vec{r}}_k.$$ (2.4.4.2)
Die Addition aller $n$ Bewegungsgleichungen ergibt
$$\sum\limits_{k=1}^{n}\,\sum\limits_{i=1}^{n}\vec{F}_{ik}\,\dot{\vec{r}}_k = \sum\limits_{k=1}^{n}\,m_k\,\ddot{\vec{r}}_k\,\dot{\vec{r}}_k.$$ (2.4.4.3)
Durch formale Manipulation der Summationsindizies folgt
$$\sum\limits_{k=1}^{n}\,\sum\limits_{i=1}^{n}\vec{F}_{ik}\,\dot{\vec{r}}_k = \frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}\,\sum\limits_{i=1}^{n}\vec{F}_{ik}\,\dot{\vec{r}}_k + \frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^{n}\,\sum\limits_{i=1}^{n}\vec{F}_{ki}\,\dot{\vec{r}}_i.$$ (2.4.4.4)
Wegen des dritten newtonschen Axioms gilt $\vec{F}_{ki} = -\vec{F}_{ik}$ und wir gelangen zu
$$\sum\limits_{k=1}^{n}\,\sum\limits_{i=1}^{n}\vec{F}_{ik}\,\dot{\vec{r}}_k = \frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}\,\sum\limits_{i=1}^{n} \vec{F}_{ik}\cdot(\dot{\vec{r}}_k - \dot{\vec{r}}_i).$$ (2.4.4.5)
Es sei nun $V$ die Stammfunktion des Terms $-\vec{F}\cdot\dot{\vec{r}}$, d.h. es gelte
$$\dot{V} = -\vec{F}\cdot\dot{\vec{r}}.$$ (2.4.4.6)
(Anmerkung: Die Funktion $V$ muss nicht notwendigerweise elementar sein. Sie muss lediglich existieren. Siehe: Fundamentalsatz der Analysis). Damit lässt sich Formel (2.4.4.5) zu
$$\sum\limits_{k=1}^{n}\,\sum\limits_{i=1}^{n}\vec{F}_{ik}\,\dot{\vec{r}}_k = -\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}\,\sum\limits_{i=1}^{n}\dot{V}_{ik}$$ (2.4.4.7)
umformen, denn $\dot{V}_{ik} = -\vec{F}_{ik}\cdot(\dot{\vec{r}}_k - \dot{\vec{r}}_i)$. Dies setzen wir in Gleichung (2.4.4.3) ein und erhalten
$$-\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}\,\sum\limits_{i=1}^{n}\dot{V}_{ik} = \sum\limits_{k=1}^{n}\,m_k\,\ddot{\vec{r}}_k\,\dot{\vec{r}}_k.$$ (2.4.4.8)
Der Term $m_k\,\ddot{\vec{r}}_k\,\dot{\vec{r}}_k$ entspricht der zeitlichen Ableitung der kinetischen Energie $T_k = \frac{1}{2} m_k \dot{r}_k^2$ des k-ten Teilchens. Damit folgt aus Gleichung (2.4.4.8)
$$-\frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}\,\sum\limits_{i=1}^{n}\dot{V}_{ik} = \sum\limits_{k=1}^{n}\dot{T}_k.$$ (2.4.4.9)
Daraus lässt sich ablesen, dass die zeitliche Ableitung der Gesamtenergie ([Brandt2005], Seite 79 und 80)
$$\mathcal{E} := \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2} m_k \dot{r}_k^2 + \frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^{n}\,\sum\limits_{i=1}^{n}V_{ik}$$ (2.4.4.10)
in einem n-Teilchensystem Null sein muss. Somit ist sie zeitlich unveränderlich und demzufolge eine Erhaltungsgröße.