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2.6 Ponderomotorische Kräfte

Wir machen nun einen sehr großen Sprung und beginnen mit einem völlig anderen Thema. Aber auch hier ist es das Plasmatröpfchenmodell der Gravitation, welches den entscheidenden Ausgangspunkt bereitstellt, da dieses es möglich macht, massebehaftete und masselose Elementarteilchen als Objekte zu interpretieren, die in sich selbst schwingungsfähig sind. Weiterhin ist sofort klar, dass, wenn die Plasmatröpfchenhypothese stimmen sollte, Elementarteilchen von oszillierenden Kraftfeldern umgeben sind. Dies erlaubt es in der Quantenmechanik völlig neue Wege zu gehen. Doch zuvor werden einige Grundlagen benötigt, die im Weiteren zunächst erläutert werden.

2.6.1 Einführung

Bei der ponderomotorischen Kraft handelt es sich um einen bemerkenswerten Effekt, der bisher kaum Beachtung in der Physik gefunden hat. Beispielsweise wird er in [Schmutzer1988], einem durchaus umfangreichen Standardwerk der Theoretischen Physik, nicht einmal erwähnt. Auch in Lehrbüchern der Experimentalphysik, wie dem [Pfeifer1997], findet sich kein Hinweis darauf. Trotz dieser geringen Präsenz in der Literatur, gehören die ponderomotorischen Kräfte zu den interessantesten Effekten der Physik. In diesem Abschnitt wird dargestellt, wie diese Kräfte bezogen auf das Plasmatröpfchenmodell der Gravitation zu Phänomenen führen, die sich praktisch nicht von Vorhersagen der Quantenmechanik unterscheiden lassen.

Bevor die mathematischen Grundlagen der ponderomotorischen Kraft behandelt werden, soll kurz anschaulich erläutert werden, worum es sich bei der ponderomotorischen Kraft handelt. In den Abbildungen 2.6.1.1 und 2.6.1.2 ist das Ergebnis zweier Simulationen dargestellt, bei denen untersucht wurde, wie sich die Position $x$ einer positiven und negativen Punktladung in einem nur in x-Richtung inhomogenen Wechselfeld mit der Zeit $t$ verändert. Die zu jedem Zeitpunkt vorliegende elektrische Feldstärke ist im Hintergrund durch Pfeile angedeutet. Integriert man in t-Richtung. so stellt man fest, dass der zeitliche Mittelwert der Feldstärke an jeder Stelle Null ist.

Abbildung 2.6.1.1: Weltlinie einer positiven Punktladung in einem nur in x-Richtung inhomogenen Wechselfeld.
Abbildung 2.6.1.2: Weltlinie einer negativen Punktladung in einem nur in x-Richtung inhomogenen Wechselfeld.

Ungeachtet dessen befinden sich am Ende der Simulation beide Punktladungen unabhängig vom Vorzeichen der Ladung weiter rechts von dem Ort, an dem sie waren, als die Simulation gestartet wurde. Zusammenfassend lässt sich offenbar sagen, dass elektrisch geladene Teilchen unabhängig vom Vorzeichen der Ladung, immer in die Richtung gezogen werden, in welcher die Amplitude des Feldes schwächer wird. Diesen Effekt nennt man ponderomotorische Kraft.

Der Grund für dieses Verhalten ist schnell erklärt: Angenommen, die Kraft zu einem bestimmten Zeitpunkt ist anziehend. Das Teilchen bewegt sich dann dorthin, wo die Feldstärke vom Betrag her noch größer wird. Wenn sich dann kurz darauf die Feldstärke umpolt, befindet sich das Teilchen an einem Ort, an dem die nun abstoßende Kraft größer ist als an dem Ort, von dem es gestartet ist. Aus diesem Grund bewegt sich das Teilchen bis zum nächsten Umpolen etwas weiter in den Bereich hinein, indem die Feldstärke vom Betrag her klein ist. Bei jedem Umpolen wiederholt sich dieser Vorgang wieder und wieder. Letztendlich entsteht also eine vom Vorzeichen der Ladung unabhängige Driftgeschwindigkeit in Richtung der schwächer werdenden Amplitude.

Die ponderomotorische Kraft wirkt jedoch nicht nur auf elektrisch geladene Teilchen, sondern auch auf gebundene Teilchen, also Partikel die elektrisch neutral sein können. Elementarteilchen im Sinne des Plasmatröpfchenmodells der Gravitation sind genau solche elektrisch neutralen, gebundenen Teilchen. Die Abbildungen 2.6.1.3 und 2.6.1.4 verdeutlichen den Mechanismus.

Abbildung 2.6.1.3: Weltlinie der Bestandteile eines gebundenen Teilchens mit starker Kopplung im Wechselfeld.
Abbildung 2.6.1.4: Weltlinie der Bestandteile eines gebundenen Teilchens mit schwacher Kopplung im Wechselfeld.

Es zeigt sich, dass sich ein gebundenes Teilchen in beide Richtungen bewegen kann. Die Richtung hängt dabei von der Art und Stärke der Kopplung im gebundenen Teilchen ab. Bei einer harmonischen Kopplung mit schwacher Kopplungskonstante wirkt der Bereich der hohen Feldstärke abstoßend. Bei einer starken Kopplung wird das gebundene Teilchen hingegen in den Bereich der hohen Feldstärke gezogen. Die Grenze zwischen starker und schwacher wird dabei durch die Eigenfrequenz des gebundenen Teilchens und der Frequenz des Feldes festgelegt.

2.6.2 Geladenes Punktteilchen im Wechselfeld

Der im Abschnitt zuvor anschaulich beschriebene Mechanismus soll nun mathematisch untersucht werden. Wir modellieren das oszillierende, räumlich inhomogene elektrische Feld $\vec{E}$ durch
$$\vec{E}(\vec{r},t) = \vec{E}_r(\vec{r})\,\cos(\omega\,t).$$ (2.6.2.1)
Die Bewegungsgleichung lautet
$$\frac{m}{q}\,\ddot{\vec{r}} = \vec{E}\left(\vec{r},t\right) = \vec{E}_r(\vec{r})\,\cos(\omega\,t).$$ (2.6.2.2)
Wie die Animationen 2.6.1.1 und 2.6.1.2 verdeutlicht haben, besteht die Bahnkurve der Punktladungen aus einem schnell oszillierenden Anteil $\vec{r}_o$ und einem langsamen Driftanteil $\vec{r}_d$. Als Lösungsansatz wird daher $\vec{r} = \vec{r}_d + \vec{r}_o$ verwendet.

Wenn die Kreisfrequenz $\omega$ als sehr groß angenommen wird folgt, dass die Schwingungsamplitude $\vec{r}_o$ sehr klein ist. Daher gilt näherungsweise
$$\vec{E}_r(\vec{r}_d+\vec{r}_o) \approx \vec{E}_r(\vec{r}_d) + \nabla\otimes\vec{E}_r(\vec{r}_d)\cdot\vec{r}_o,$$ (2.6.2.3)
wobei
$$\nabla\otimes\vec{E} = \left(\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial\,r_x}E_x & \frac{\partial}{\partial\,r_y}E_x & \frac{\partial}{\partial\,r_z}E_x \\ \frac{\partial}{\partial\,r_x}E_y & \frac{\partial}{\partial\,r_y}E_y & \frac{\partial}{\partial\,r_z}E_y \\ \frac{\partial}{\partial\,r_x}E_z & \frac{\partial}{\partial\,r_y}E_z & \frac{\partial}{\partial\,r_z}E_z \end{matrix}\right)$$ (2.6.2.4)
für die Jacobi-Matrix steht. Wenn wir das in die Bewegungsgleichung (2.6.2.2) einsetzen ergibt sich
$$\frac{m}{q}\,\left(\ddot{\vec{r}}_d + \ddot{\vec{r}}_o\right) \approx \left(\vec{E}_r(\vec{r}_d) + \nabla\otimes\vec{E}_r(\vec{r}_d)\cdot\vec{r}_o\right)\,\cos(\omega\,t).$$ (2.6.2.5)
Im nächsten Schritt wird ausgenutzt, dass die Beschleunigung $\ddot{\vec{r}}_d$, die zur Driftbewegung führt, sehr viel kleiner ist, als die Beschleunigung $\ddot{\vec{r}}_o$. Damit und wegen der kleinen Schwingungsamplitude $\vec{r}_o$ folgt aus der Bewegungsgleichung (2.6.2.5) die Näherung
$$\frac{m}{q}\,\ddot{\vec{r}}_o \approx \vec{E}_r(\vec{r}_d)\,\cos(\omega\,t).$$ (2.6.2.6)
Da sich $\vec{r}_d$ im Vergleich zu $\vec{r}_o$ nur sehr langsam ändert, ist $\vec{E}_r(\vec{r}_d)$ im betrachteten Zeitraum im Wesentlichen eine Konstante, was eine Lösung der Differentialgleichung zulässt. Es folgt
$$\vec{r}_o \approx -\frac{q}{m\,w^2}\,\vec{E}_r(\vec{r}_d)\,\cos(\omega\,t).$$ (2.6.2.7)
Durch Einsetzen in Gleichung (2.6.2.5) bekommen wir
$$\begin{split} & \frac{m}{q}\,\left(\ddot{\vec{r}}_d + \frac{q}{m}\,\vec{E}_r(\vec{r}_d)\,\cos(\omega\,t)\right) \approx \\ & \quad \left(\vec{E}_r(\vec{r}_d) - \frac{q}{m\,\omega^2} \nabla\otimes\vec{E}_r(\vec{r}_d)\cdot\vec{E}_r(\vec{r}_d)\,\cos(\omega\,t)\right)\,\cos(\omega\,t),\end{split}$$ (2.6.2.8)
was sich durch Umformen zu
$$\ddot{\vec{r}}_d \approx -\frac{q^2}{m^2\,\omega^2} \nabla\otimes\vec{E}_r(\vec{r}_d)\cdot\vec{E}_r(\vec{r}_d)\,\cos(\omega\,t)^2$$ (2.6.2.9)
vereinfachen lässt. Der Term $\cos(\omega\,t)^2$ liefert im zeitlichen Mittel einen Beitrag von
$$\begin{split}\overline{\cos(\omega\,t)^2} = & \lim\limits_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int\limits_0^{T}\,\cos(\omega\,t)^2\,\mathrm{d}t \\ = & \lim\limits_{T\to\infty}\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4\,T\,\omega}\,\sin(2\,\omega\,T)\right) = \frac{1}{2}.\end{split}$$ (2.6.2.10)
Damit folgt schließlich die Näherung
$$\ddot{\vec{r}}_d \approx -\frac{q^2}{2\,m^2\,\omega^2} \nabla\otimes\vec{E}_r(\vec{r}_d)\cdot\vec{E}_r(\vec{r}_d)$$ (2.6.2.11)
und man kann die ponderomotorische Kraft $\vec{F}_p$ durch die Gleichung
$$\vec{F}_p = -\frac{q^2}{2\,m\,\omega^2} \nabla\otimes\vec{E}_r\cdot\vec{E}_r$$ (2.6.2.12)
beschreiben.

Für den Fall, dass sich $\vec{E}_r$ als Gradient $-\nabla\varphi_r$ eines skalaren Potentials $\varphi_r$ ausdrücken lässt, gilt (aber nur dann)
$$\nabla\otimes\vec{E}_r\cdot\vec{E}_r = \frac{1}{2}\nabla\left(\vec{E}_r\cdot\vec{E}_r\right) = \frac{1}{2}\,\nabla E_r^2,$$ (2.6.2.13)
denn
$$\left(\nabla\otimes\nabla\varphi_r\right)\cdot\nabla\varphi_r = \frac{1}{2}\nabla\left(\nabla\varphi_r\cdot\nabla\varphi_r\right).$$ (2.6.2.14)
Damit vereinfacht sich die Formel (2.6.2.12) nocheinmal erheblich und man erhält
$$\vec{F}_p = -\frac{q^2}{4\,m\,\omega^2} \nabla E_r^2\quad(\text{für}\, \nabla\times\vec{E}_r=0).$$ (2.6.2.15)
Gleichzeitig wird deutlich, dass sich die ponderomotorische Kraft selbst ebenfalls als Gradientenfeld $\vec{F}_p = -\nabla\varphi_p$ auffassen lässt. Das ponderomotorische Potential lautet in diesem Fall
$$\varphi_p = \frac{q^2\,E_r^2}{4\,m\,\omega^2}\quad(\text{für}\, \nabla\times\vec{E}_r=0).$$ (2.6.2.16)


2.6.3 Gebundenes Teilchen im Wechselfeld

Diesmal wird ein gebundenes, elektrisch neutrales Teilchen betrachtet, welches aus einer negativen Ladung $-Q/2$ und einer positiven Ladung $+Q/2$ besteht. Die Kraft zwischen den beiden Ladungen wird in der nachfolgenden Rechnung nicht durch ein Coulombpotential, sondern durch einen harmonischen Oszillator mit der Koppelkonstanten $k$ modelliert.

Das oszillierende, räumlich inhomogene elektrische Feld $\vec{E}$ sei wieder durch
$$\vec{E}(\vec{r},t) = \vec{E}_r(\vec{r})\,\cos(\omega\,t)$$ (2.6.3.1)
gegeben. Die Bewegungsgleichungen lauten demzufolge
$$m_n\,\ddot{\vec{r}}_n = -\frac{Q}{2}\,\vec{E}_r(\vec{r}_n)\,\cos(\omega\,t) + k\,\left(\vec{r}_p - \vec{r}_n\right)$$ (2.6.3.2)
und
$$m_p\,\ddot{\vec{r}}_p = \frac{Q}{2}\,\vec{E}_r(\vec{r}_p)\,\cos(\omega\,t) + k\,\left(\vec{r}_n - \vec{r}_p\right).$$ (2.6.3.3)
Dabei ist $\vec{r}_n$ die Bahnkurve der negativen Ladung und $\vec{r}_p$ die Bahnkurve der positiven Ladung. $m_n$ und $m_p$ sind die zugehörigen Massen, die nicht zwangsläufig gleich sein müssen, wie beispielsweise bei einem Wasserstoffatom, bei dem das positiv geladene Proton deutlich mehr Masse besitzt, als das für die negative Ladung verantwortliche Elektron.

Auch hier bestehen die Lösungen jeweils wieder aus einem langsamen Driftanteil $\vec{r}_d$, der die Bewegung des Systemschwerpunktes beschreibt, und einem schnell oszillierenden Anteil $\vec{r}_{o}$. Es werden daher die Lösungsansätze $\vec{r}_n = \vec{r}_{d} + \vec{r}_{on}$ und $\vec{r}_p = \vec{r}_{d} + \vec{r}_{op}$ verwendet. Der Driftanteil $\vec{r}_d$ ist bei einem gebundenen Teilchen natürlich für beide Ladungen identisch und gleich der Bahnkurve des Schwerpunkts.

Unter Verwendung der Näherung (2.6.2.3) werden die Bewegungsgleichungen (2.6.3.2) und (2.6.3.3) zu
$$\begin{split}m_n\,\left(\ddot{\vec{r}}_{d}+\ddot{\vec{r}}_{on}\right) \approx & -\frac{Q}{2}\,\left(\vec{E}_r(\vec{r}_{d}) + \nabla\otimes\vec{E}_r(\vec{r}_{d})\cdot\vec{r}_{on}\right)\,\cos(\omega\,t) + \\ & k\,\left(\vec{r}_{op} - \vec{r}_{on}\right)\end{split}$$ (2.6.3.4)
und
$$\begin{split}m_p\,\left(\ddot{\vec{r}}_{d}+\ddot{\vec{r}}_{op}\right) \approx & \frac{Q}{2}\,\left(\vec{E}_r(\vec{r}_{d}) + \nabla\otimes\vec{E}_r(\vec{r}_{d})\cdot\vec{r}_{op}\right)\,\cos(\omega\,t) + \\ & k\,\left(\vec{r}_{on} - \vec{r}_{op}\right).\end{split}$$ (2.6.3.5)
Mit den Näherungen $\ddot{\vec{r}}_{d} \ll \ddot{\vec{r}}_{on}$, $\ddot{\vec{r}}_{d} \ll \ddot{\vec{r}}_{op}$, $\vec{r}_{on} \approx 0$ und $\vec{r}_{op} \approx 0$ vereinfacht sich das zu
$$m_n\,\ddot{\vec{r}}_{on} \approx -\frac{Q}{2}\,\vec{E}_r(\vec{r}_{d})\,\cos(\omega\,t) + k\,\left(\vec{r}_{op} - \vec{r}_{on}\right)$$ (2.6.3.6)
und
$$m_p\,\ddot{\vec{r}}_{op} \approx \frac{Q}{2}\,\vec{E}_r(\vec{r}_{d})\,\cos(\omega\,t) + k\,\left(\vec{r}_{on} - \vec{r}_{op}\right).$$ (2.6.3.7)
Dieses Differentialgleichungssystem lässt sich unter der Annahme lösen, dass $\vec{E}_r(\vec{r}_{d})$ zum Zeitpunkt der Betrachtung im Wesentlichen nur eine zeitunabhängige Konstante darstellt. Die Lösungen lauten
$$\vec{r}_{on} = \frac{Q\,\vec{E}_r(\vec{r}_{d})\,\left(\cos\left(\omega\,t\right)-\cos\left(\omega_e\,t\right)\right)}{2\,m_n\left(\omega^2-\omega_e^2\right)}$$ (2.6.3.8)
und
$$\vec{r}_{op} = -\frac{Q\,\vec{E}_r(\vec{r}_{d})\,\left(\cos\left(\omega\,t\right)-\cos\left(\omega_e\,t\right)\right)}{2\,m_p\left(\omega^2-\omega_e^2\right)},$$ (2.6.3.9)
wobei $\omega_e$ für die Eigenkreisfrequenz $\omega_e = \sqrt{\frac{k}{m_{red}}}$ des gebundenen Teilchens und $m_{red} = \frac{m_n\,m_p}{m_n + m_p}$ für die reduzierte Masse steht.

Der Schwerpunkt $\vec{r}_d$ beträgt
$$\vec{r}_d = \frac{m_p\,\vec{r}_p + m_n\,\vec{r}_n}{m_p + m_n}.$$ (2.6.3.10)
Zweimaliges Ableiten nach der Zeit ergibt
$$\ddot{\vec{r}}_d = \frac{m_p\,\ddot{\vec{r}}_p + m_n\,\ddot{\vec{r}}_n}{m_p + m_n}.$$ (2.6.3.11)
Das Einsetzen der rechten Seiten der Gleichungen (2.6.3.2) und (2.6.3.3) liefert daher
$$\ddot{\vec{r}}_d = \frac{Q}{2\,(m_p + m_n)} \left(\vec{E}_r(\vec{r}_p)-\vec{E}_r(\vec{r}_n)\right)\,\cos(\omega\,t).$$ (2.6.3.12)
Mit der Näherung (2.6.2.3) folgt weiter
$$\ddot{\vec{r}}_d = \frac{Q}{2\,(m_p + m_n)} \nabla\otimes\vec{E}_r(\vec{r}_d)\cdot\left(\vec{r}_{op}-\vec{r}_{on}\right)\,\cos(\omega\,t).$$ (2.6.3.13)
Hier können nun die Lösungen (2.6.3.8) und (2.6.3.9) eingesetzt werden und man erhält
$$\ddot{\vec{r}}_d = -\frac{Q^2\,\left(\cos\left(\omega\,t\right)-\cos\left(\omega_e\,t\right)\right)\,\cos(\omega\,t)}{4\,m_p\,m_n\,\left(\omega^2-\omega_e^2\right)} \nabla\otimes\vec{E}_r(\vec{r}_d)\cdot\vec{E}_r(\vec{r}_{d}).$$ (2.6.3.14)
Im nächsten Schritt wird zeitlich gemittelt, um die für die Bewegung des Schwerpunktes unerhebliche schnelle Oszillation der beiden Ladungen zu entfernen. Mit
$$\lim\limits_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} \left(\cos\left(\omega\,t\right)-\cos\left(\omega_e\,t\right)\right)\,\cos(\omega\,t)\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}$$ (2.6.3.15)
erhält man dann die ponderomotorische Kraft bei einem gebundenen Teilchen. Die Formel lautet im allgemeinen Fall
$$\vec{F}_p = -\frac{Q^2}{8\,m_{red}\,\left(\omega^2-\omega_e^2\right)} \nabla\otimes\vec{E}_r\cdot\vec{E}_r$$ (2.6.3.16)
mit
$$m_{red} = \frac{m_n\,m_p}{m_n + m_p} \quad \text{und}\quad \omega_e = \sqrt{\frac{k}{m_{red}}}.$$ (2.6.3.17)
Für den Fall, dass sich $\vec{E}_r=-\nabla\varphi_r$ als Gradient eines Potentials $\varphi_r$ schreiben lässt, gilt wegen der Beziehung (2.6.2.13) für die ponderomotorische Kraft die Formel
$$\vec{F}_p = -\frac{Q^2\,\nabla\,E_r^2}{16\,m_{red}\,\left(\omega^2-\omega_e^2\right)}\quad(\text{für}\, \nabla\times\vec{E}_r=0).$$ (2.6.3.18)
Das ponderomotorische Potential lautet demzufolge
$$\varphi_p = \frac{Q^2\,E_r^2}{16\,m_{red}\,\left(\omega^2-\omega_e^2\right)}\quad(\text{für}\, \nabla\times\vec{E}_r=0).$$ (2.6.3.19)

Es ist an dieser Stelle wichtig, auf den Term $\omega^2-\omega_e^2$ unterhalb des Bruchstrichs im Vorfaktor hinzuweisen. Dieser scheint nämlich zu implizieren, dass für $\omega^2 = \omega_e^2$ eine unendlich große ponderomotorische Kraft wirkt. Dies ist in der Praxis nicht korrekt, da unter diesen Umständen die Annahmen, die zur Herleitung der Formel (2.6.3.18) geführt haben, so nicht möglich sind. Numerische Simulationen zeigen, dass das gebundene Teilchen bei der Eigenfrequenz in Resonanz gerät und heftig zu schwingen beginnt, bis es zu algorithmischen Instabilitäten kommt. Der Schwerpunkt des gebundenen Teilchens verändert seine Lage jedoch nicht. Richtig ist allerdings, dass die ponderomotorische Kraft für Kreisfrequenzen $\omega$ nahe der Eigenfrequenz $\omega_e$ besonders stark ist. Die Richtung der Kraft hängt dabei davon ab, ob $\omega^2 < \omega_e^2$ oder $\omega^2 > \omega_e^2$ gilt. Für Eigenfrequenzen oberhalb der Feldfrequenz wirkt die ponderomotorische Kraft derart, dass gebundene Teilchen dorthin gezogen werden, wo die Amplitude maximal wird. Im anderen Fall wirken die Bereiche hoher Amplitude bzw. Intensität abstoßend. Die Animationen 2.6.1.3 und 2.6.1.4 liefern anschauliche Beispiele für beide Fälle.